गणिताच्या सोप्या वाटा/व्यस्त प्रमाण

व्यस्त प्रमाणाची गणिते (काळ काम वेग)

आता पर्यंत ज्या संख्या समप्रमाणात बदलतात, त्यांची गणिते कशी



सोडवतात ते पाहिले. आतां विरुद्ध प्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांची गणिते कशी सोडवावी ते पाहू. तुमच्या 6 वीच्या पुस्तकात अशा गणितांचे गुणोत्तर उलटे असते. याचा उपयोग करून अशी गणिते सोडवून दाखवली आहेत पण या पद्धतीने सोडवताना काही मुलांचा गोंधळ होतो व गुणोत्तर उलटे करून नक्की कधी लिहायचे व कधी तसेच ठेवायचे हे काहींना चटकन समजत नाही. त्यासाठी दुसरी साधी रीत वापरूनही ही गणिते करता येतात. कशी ते पहा -

उदा. एक माणूस एक भिंत बांधायला दहा दिवस घेतो. पाच माणसे मिळून किती दिवसात बांधतील ?

इथे एका माणसाऐवजी जास्त माणसे लावली तर दिवस कमी होतील म्हणून माणसे व कामाला लागणारा वेळ हे व्यस्त प्रमाणात आहेत - त्यापैकी एक कमी झाल्यास दुसरा वाढतो. तेव्हा हे गणित सम प्रमाणाचं नाही. एकाऐवजी पाच माणसं लावली तर ती एका माणसाचे पाच दिवसाचे काम एका दिवसात करतील आणि दोन दिवसात एका माणसाचे दहा दिवसाचे काम करतील होय ना ? म्हणून पाच माणसे तीच भिंत दोन दिवसात करतील.

या ठिकाणी रीत काय आहे पहा - एका माणसाला दिलेलं काम करायला किती दिवस लागतात ते पहा व जास्त माणसे असतील तर त्या माणसांच्या संख्येने दिवसांच्या संख्येला भागा म्हणजे लागणारे दिवस मिळतील.

इथे एका माणसाला दहा दिवस लागतात व एकूण 5 माणसे लावली तर 10/5 = 2 दिवसात काम होईल.

एका माणसाला लागणारा वेळ/एकूण माणसांची संख्या = एकूण माणसांना लागणारा वेळ

किंवा एका माणसाला लागणारा वेळ = जास्त माणसांची संख्या x तेवढ्या माणसांना लागणारा वेळ

या पद्धतीत एका माणसाला लागणारा वेळ काढून मग गणित सोडवले जाते. आणखी एक गणित पहा.

उदा. एका टाकीला पाच सारखे नळ आहेत. पूर्ण भरलेली टाकी रिकामी करण्यास दोन नळ सोडून ठेवळे तर 10 तास टाकी रिकामी होण्यास लागतात पाचही नळ सोडले तर टाकी रिकामी होण्यास किती वेळ लागेल ?

इथे नळ जास्त सोडले तर वेळ कमी लागेल.

व्यस्त प्रमाणाचे गणित आहे.

आता आपल्या रीतीप्रमाणे एका नळाला टाकी रिकामी करण्यास किती वेळ लागेल ते प्रथम पाहू. इथे माणसाऐवजी नळ काम करतो.

2 नळ सोडल्यास 10 तास लागतात तर

1 नळ सोडल्यास 20 तास लागतील होय ना ?

मग 5 नळ सोडल्यास त तास लागत असतील तर

एका नळास लागणारे तास/एकूण नळ = एकूण नळास लागणारे तास

∴ 20/5 = त

∴ त = 4

∴ 5 नळ सोडल्यास टाकी 4 तासात रिकामी होईल. इथे मजुरांऐवजी नळ काम करत आहेत असे म्हणाला हरकत नाही. मात्र एका नळाला ठरलेलं काम करायला किती वेळ लागतो ते सरळ दिलेलं नाही ते आपल्याला शोधावे लागले.

आणखी उदाहरण पहा -

उदा. 12 मजूर एक घर 48 दिवसात बांधतात. अशी 2 घरे बांधण्यास किती मजूर लावले तर 32 दिवसात काम पुरे होईल ?

प्रथम 12 मजुरांना एका घरास 48 दिवस लागतात तर ठरलेलं काम म्हणजे 2 घरे बांधण्यास तेवढ्या मजुरांना 48 x 2 = 96 दिवस लागतील.

आता एका मजुराला ठरलेलं काम करायला किती दिवस लागतील ते काढू.

12 मजुरांना 96 दिवस लागतात.

∴ 1 मजुराला 96 x 12 दिवस लागतील.

कारण एक मजूर 12 मजुरांचं एका दिवसाचे काम करायला 12 दिवस घेईल इथे 96 x 12 हा गुणाकार करून उत्तर काढले नाही तरी चालेल कारण अजून 96 x 12 या संख्येला भागायचं आहे. आता 'म' मजूर लावल्यास ठरलेलं काम 32 दिवसात होत असेल, तर आपल्या नियमाप्रमाणे

96 X 12/म = 32 हे समीकरण मिळते.

∴ 32म = 96 x 12   (दोन्ही बाजूंची अदलाबदल व दोन्ही बाजूंना म ने गुणले)

∴ म = 96 x 12/32 = 36   ((इथे अंश व छेद यांना प्रथम 8 ने व मग 4ने भागले)

∴36 मजूर लावले तर 2 घरे 32 दिवसांत बांधतील. इथे 96 x 12 = 1152 हा गुणाकार करण्याचा वेळ वाचला व 1152/32 हा भागाकारही सोपा झाला हे ध्यानात घ्या.

उदा. रोज 4 गणिते केल्यास एक, गणितांचा संग्रह 12 दिवसात सोडवला जातो. रोज 6 गणिते केल्यास किती दिवसांत संपेल ?

रोज जास्त गणिते केली तर संग्रह सोडवण्यास कमी दिवस लागतात

 ∴ व्यस्त प्रमाणाचे गणित

रोज 4 गणिते केल्यास 12 दिवस लागतात.

∴ रोज 1 गणित केल्यास 12 x 4 = 48 दिवस लागतील.

∴रोज 6 गणिते केल्यास 48/6 = 8 दिवस लागतील. (कारण रोजी 1 गणिताने लागणारे दिवस/6 = 8 : इथे मजुरांऐवजी रोज सोडवल्या जाणारया गणितांचा अकडा आहे)

आता आणखी एक गणित पहा - इथे एकाच गणिताचे छोटे छोटे भाग आहेत व ते वेगवेगळ्या पद्धतीने सोडवायचे.

उदा० एका मोटारीला 34 कि.मी. जाण्यास 40 मिनिटे लागतात. तर मोटारीचा ताशी वेग काय ? गाडीचा वेग 2/3 पट केला तर 272 कि.मी. जाण्यास किती वेळ लागेल ?

मोटारीचा वेग काढताना 1 तास = 60 मिनिटे हे लक्षात ठेवा. 60 मिनिटात मोटर किती कि.मी. जाते, तो मोटारीचा ताशी वेग

∴ मिनिटे व कि.मी. समप्रमाणात आहेत व मिनिटे/ कि.मी. हे गुणोत्तर प्रमाण कायम आहे.

60 मिनिटात क कि.मी. जात असेल, तर

60/क = 40/34 असे समीकरण मिळते.

∴ 60 x 34 = 40 x क   (दोन्ही बाजूंना 34 क ने गुणले)

∴ क = 60 x 34/40 = 3 x 17

∴ मोटारीचा ताशी वेग 51 कि.मी. असा आहे.

आता तो 2/3 पट केला, तर 51/1 x 2/3 = 34 कि.मी. होईल.

34 कि.मी. वेगाने 272 कि.मी. जायचे आहे. पुन्हा जास्त वेळ गाडी चालवली तर जास्त कि.मी. जाईल.



∴हे गुणोत्तर कायम आहे. 272 कि.मी. जाण्यास क्ष मिनिटे लागतात असे मानू.

∴ 60/34 = क्ष/272

∴ क्ष = 60/34 x 272 = 480

∴ 272 कि.मी. जाण्यास 480 मिनिटे किंवा 480/60 = 8 तास लागतील.

कधी कधी एकाच उदाहरणाचे वेगवेगळे भाग, वेगवेगळ्या पद्धतीने सोडवावे लागतात याचा आणखी एक नमुना पहा.

उदा० एक भिंत बांधायला 15 मजूरांना 40 दिवस लागतात तर चार भिती 60 दिवसात पुऱ्या करायला किती मजूर लागतील ?

इथे करायचे काम हे चार भिंती बांधायचे आहे. त्यासाठी एका मजूराला। किती दिवस लागतील हे आधी काढू.

15 मजूरांना 1 भिंत बांधायला 40 दिवस तर 15 मजूरांना 4 भिती बांधायला 40 X 4 = 160 दिवस

आता 15 मजूरांना 160 दिवस लागतात तर 1 मजूराला 160 x 15 दिवस लागतील.

आपली रीत वापरून 1 मजूराला लागणारे दिवस/एकूण मजूर = एकूण मजूरांना लागणारे दिवस

∴ एकूण मजूर य लागतात असे मानले तर

160 x 15/य = 60

∴ 60य = 160 x 15

 ∴ य = 160 x 15/60 = 8 x 5 = 40

∴ 60 दिवसात काम करण्यास 40 मजूर लावावे लागतील.

सरावासाठी खालील उदाहरणे सोडवा.

(1) आठ घोड्यांना काही हरभरे 112 दिवस पुरतात तर सात घोड्यांना ते किती दिवस पुरतील ?

(2) लीला एका तासात 15 गजरे करते तर गौरी एका तासात 20 गजरे करते. जे गजरे करायला लीलाला चार तास लागले, ते गौरी किती वेळात करेल ?

(3) एक मोटर ताशी 30 कि.मी. वेगाने गेली, तर पुणे सातारा अंतर 4 तासात जाते. मोटारीचा वेग दीडपट केला तर तेच अंतर किती वेळात जाईल ?