गणिताच्या सोप्या वाटा/दशांश अपूर्णाक

दशांश अपूर्णांक

अपूर्णांक जर दशांश पद्धतीने लिहिले तर बेरीज वजाबाकी, गुणाकार भागाकार या क्रिया करणं बरंच सोपं जातं. म्हणून ही पद्धत जरूर शिका. कुठलाही दशांश अपूर्णांक, साध्या व्यवहारी अपूर्णाकासारखा लिहिणे सोपं असतं. आता 32.7 हा दशांश अपूर्णांक पहा. दशांश टिंबाच्या आधीची म्हणजे डाव्या बाजूची संख्या 32 ही पूर्णांक आहे व टिंबाच्या पुढचा भाग हा एकापेक्षा कमी अशी अपूर्णांकाचा आहे. .7 = 7/10 म्हणून 32.7 = 32 7/10. टिंबानंतर जेवढे आकडे 

असतील तेवढी शून्यं एकावर ठेवून तो छेद व टिंबानंतरची संख्या हा अंश असा तो अपूर्णांक असतो. आता कुठलीही तीन आकड्यांची संख्या 1000 पेक्षा, 2 आकड्यांची संख्या 100 पेक्षा, एक आकड्याची संख्या 10 पेक्षा व चार आकड्यांची संख्या 10000 पेक्षा लहान असते म्हणून टिंबा नंतरचा अपूर्णांकाचा भाग हा नेहमी एकाहून लहान असतो कारण तो व्यवहारी अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिला की अंश हा छेदापेक्षा लहान असतो. पुन्हा एकदा पुढील दशांश - व्यवहारी अपूर्णाक ही रूपे पहा -

4.73 = 473/100

25.08 = 258/100 (इथे टिंबानंतर 0 व 8 हे दोन आकडे आहेत म्हणून छेद 100 व 08 = 8)

.2 = 2/10

6.001 = 61/1000

आणखी एक गंमत पहा -

5.2 = 5 2/10

5.20 = 520/100 = 52/10 (10 ने अंश व छेद यांना भागले)

5.200 = 520/1000 = 52/10 (100 ने अंश व छेद यांना भागले)

∴ 5.2 = 5.20 = 5.200 = 5.2000 = 5.20000 हे लक्षात आलं का ? थोडक्यात, ध्यानात ठेवण्यासाठी - दशांश अपूर्णांकाच्या बाबतीत दशांश टिंबानंतरची जी संख्या असते तिच्या पुढे कितीही शून्ये लिहिली तरी अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाही -

तसेच 3.48 = 03.48 = 003.48



कारण 3 हा पूर्णांक आहे व त्या पूर्णांकाच्या आधी कितीही शून्ये दिली तरी संख्या बदलत नाही.

दशांश अपूर्णांकाच्या बेरजा वजाबाक्या अगदी सोप्या असतात. साध्या व्यवहारी अपूर्णांकांची बेरीज वजाबाकी करताना दोन्ही अपूर्णांकांना समान छेद देऊन मग बेरीज किंवा वजाबाकी केली जाते. जसे

1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 5 + 3/15 = 8/15

किंवा 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 8 - 3/12 = 5/12

पण दशांश अपूर्णांकांची बेरीज वजाबाकी सोपी असते.

जसे  3.25   8.12

 + 14.08   - 6.75

 -------   ---------

  17.33    1.37

म्हणजे दशांश अपूर्णांक एका खाली एक असे लिहा की वरच्या अपूर्णांकाच्या दशांश टिंबाच्या बरोबर खाली, खालच्या दशांश अपूर्णांकाचे टिंब येईल. मग टिंबाकडे लक्ष न देता नेहमीप्रमाणे बेरीज किंवा वजाबाकी करा व उत्तरातही टिंब वरच्या टिंबांच्या खाली लिहा. पण इथे एक काळजी घ्या - दोन्ही संख्यांमधे दशांश टिंबानंतर आकड्यांची संख्या सारखीच ठेवा म्हणजे चूक होणार नाही. जसे - 3.4 + 12.62 करताना

3.4 मधे दशांश टिंबानंतर एकच आकडा आहे म्हणून 3.4 ऐवजी 3.40 लिहू म्हणजे दोन्ही संख्यांमधे दशांश टिंबांनंतर दोन दोन आकडे होतील. मग

3.40

+ 12.52

--------

16.02    अशी बेरीज करता येईल.

तसेच 9.2 - 5.48 करताना  (9.2 = 9.20)

∴ 9.20

- 5.48

-------

3.72 अशी वजाबाकी करायची.

सरावासाठी पुढील बेरजा व वजाबाक्या करा.

(1) 425.02 + 107.8

(2) 13.65 + 6.927

(3) 913.04 - 68.72

(4) 49.6 - 24.835

(5) 80.16 - 16.64

आता व्यवहारी अपूर्णांक दशांश अपूर्णांकाच्या रूपात कसे लिहिता येतात ते पहा - 3/5 चे दशांश रूप हवे असेल तर सरळ भागाकार करायचा व 3 = 3.0 = 3.00 = 3.000 हे लक्षात ठेवायचे. नेहमीप्रमाणे भागाकार करायचा पण दशांश टिंबानंतरचे आकडे खाली उतरवायला सुरुवात केली की भागाकाराच्या संख्येतही दशांश टिंब लिहावे लागते 3/5 ला दशांश रूप देऊ या -

या ठिकाणी दशांश टिंबानंतर एक शून्य खाली नेल्यानंतर पूर्ण भाग गेला व बाकी शून्य आल्यामूळे 2 भागाकार पुरा झाला पण

३/4 या अपूर्णाकाला दशांश रूप देताना काय होते पहा

म्हणजे या ठिकाणी दशांश टिंबानंतरची दोन शून्ये घ्यावी लागली तेव्हा भागाकार पुरा झाला.



कधी कधी व्यवहारी अपूर्णाकाला दशांश रूप देताना भागाकार संपतच नाही. जसे

1/3-ला दशांश रूप देताना -

 म्हणजे दशांश टिंबानंतरची कितीही शून्ये खाली उतरवली तरी भागाकार संपत नाही, बाकी सदैव एक राहते. अशावेळी दशांश टिंबानंतर दोन किंवा तीन स्थाने भरेपर्यंतच भागाकार करतात व त्या व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश अपूर्णांकात बिनचूक रूपांतर न होता, अंदाजे रूपांतर होते.

दशांश अपूर्णांकांचे गुणाकार व भागाकार देखील अवघड नसतात. ते कसे असतात ते पाहू. प्रथम कुठल्याही दशांश अपूर्णांकाला 10, 100, 1000 इ. संख्यांनी गुणणे किंवा भागणे किती सोपे असते पहा. आधी भागाकार करू.

2.5 = 55/10 = 25/10

∴ 2.5/10 = 25/10 x 1/10 = 25/100 = .25

तसेच 42.63 = 4263/100 = 4263/100

42.63/10 = 4263/100 x 1/10 = 4263/100 = 4.263

तसेच 42.63/100 = 4263/100 x 1/100 = .4263

म्हणजेच कुठल्याही दशांश अपूर्णांकाला 10 ने भागणे म्हणजे दशांश टिंब एक स्थान डावीकडे हलवणे. दशांश अपूर्णांकाला 100 * भागणे म्हणजे दशांश टिंब दोन स्थाने डावीकडे हलवणे. तसेच 1000 ने भागणे म्हणजे दशांश टिंब तीन स्थाने डावीकडे हलवणे.

थोडक्यात एकावर शून्ये असलेल्या संख्येने दशांश अपूर्णाकाला भागताना, एकावर जेवढी शून्ये असतील, तेवढी स्थाने दशांश टिंब डावीकडे न्यावे लागते. पुन्हा काही असेच भागाकार पहा

12.6/10 = 1.26, 12.6/100 = .126 आणि 12.6/1000 = .0126

या शेवटच्या भागाकारात दशांश टिंब तीन स्थाने डावीकडे न्यायचे आहे. पण टिंबाआधी दोनच आकडे आहेत. आता हे ध्यानात घ्या की 12.6 = 012.6 = 0012.6. म्हणून दशांश टिंब तीन स्थाने डावीकडे नेताना डावीकडच्या शून्याचा उपयोग होतो व दशांश टिंब कितीही स्थाने डावीकडे नेता येते.

आता सरावासाठी पुढील भागाकार करा.

72.4/10 , 415/100, 803.21/100 , 48/1000 , .37/10

आता एकावर शून्ये असलेल्या संख्येने गुणाकार देखील कसा सोपा असतो याची उजळणी करू.

3.6 x 10 = 36/10 x 10 = 36

4.72 x 10 = 472/100 x 10 = 472/10 = 47.2

36.12 X 100 = 3612/100 x 100 = 3612

.024 x 10 = 24/1000 x 10 = 24/1000= .24

4.98 x 1000 = 498/100 x 1000 = 498 x 10 = 4980.

आता लक्षात आलं ना की एकावर शून्ये असलेल्या संख्येने दशांश अपूर्णाकाला गुणताना, एकावर जेवढी शून्ये त्या संख्येत आहेत तेवढी स्थाने दशांश टिंब उजवीकडे सरकवायचे. आता वरील शेवटच्या गुणाकारात 4.98 ला 1000 ने गुणायचे आहे म्हणजे दशांश टिंब तीन स्थाने उजवीकडे न्यायचे पण दशांश टिंबाच्या उजवीकडे दोनच आकडे आहेत. तरी हे लक्षात घ्या की 4.98 = 4.980 = 4.9800



म्हणून दशांश अपूर्णांकाच्या उजव्या बाजूच्या शून्यांचा उपयोग होतो, व दशांश टिंब कितीही स्थाने उजवीकडे नेता येतो.

पुन्हा एकदा लक्षात ठेवा की एकावर शून्ये असलेल्या संख्येने भागताना शून्यांच्या संख्येइतकी स्थाने, दशांश टिंब डावीकडे न्यायचे तर तशा प्रकारच्या संख्येने गुणताना, दशांश टिंब शून्यांच्या संख्येइतकी स्थाने उजवीकडे न्यायचे. पूर्णांकाने भागाकार करताना दशांश टिंब डावीकडे न्यायचे कारण असा भागाकार केल्यावर संख्या कमी होते. पूर्णांकाने गुणाकार करताना तेच टिंब उजवीकडे न्यायचं कारण असा गुणाकार केल्यावर संख्या वाढते. हेही लक्षात ठेवा की दशांश चिन्ह उजवीकडे गेलं की संख्या मोठी होते.

.0625 < 0.625 < 6.25 < 62.5 < 625

सरावासाठी पुढील गुणाकार करा.

41.36 x 1000, 5.2 X 100, 2.7645 x 1000,

36.92 x 100, 85.04 x 1000, .68 x 10.

आता कुठल्याही दोन दशांश अपूर्णांकांचा गुणाकार कसा असतो ते पाहू.

उदा० 36.5 x 1.7 हा गुणाकार करायचा आहे. हाच गुणाकार 365 x 17/100 असाही करता येईल.

म्हणजे दशांश टिंब काढून टाकून ज्या पूर्ण संख्या येतात त्यांचा साधा गुणाकार करायचा व मग योग्य जागी दशांश टिंब द्यायचं - जर एकूण छेदामधे 10 X 10 = 100 अशी संख्या असेल, तर उजवीकडे दोन आकडे ठेवून टिंब द्यावं लागेल. जसे

365 X 17 = 6205

∴ 365 x 17/100 = 62.05

किंवा 36.5 x 1.7 = 62.05 

थोडक्यात लक्षात ठेवण्यासाठी दोन दशांश अपूर्णाकांचा गुणाकार करताना प्रत्येक संख्येत दशांश टिंबानंतर असलेल्या आकड्यांच्या संख्येची बेरीज करून, तेवढे आकडे गुणाकारात, दशांश टिंबाच्या उजव्या बाजूला ठेवायचे.

नमुन्यासाठी काही उदाहरणे पहा.

उदा (1) 16.8 x 5

आता 168

x 5

--------

840  असा गुणाकार आहे.

16.5 मधे दशांश टिंबानंतर एक आकडा आहे तर 5 ही पूर्ण संख्या असल्यामुळे 5. अशी लिहिता येते व दशांश टिंबानंतर आकडा नाही म्हणून गुणाकारात दशांश टिंबानंतर 1 + 0 = 1 आकडा असला पाहिजे. म्हणून 16.8 × 5 = 84.0

या ठिकाणी दशांश टिंबानंतर शून्यच आहे व गुणाकार हा पूर्णांक झाला. साध्या रीतीने देखील

168/10 x 5 = 168/2 = 84 असाच गुणाकार येतो.

उदा. (2) 2.05 x 4.8

इथे 205 x 48 हा गुणाकार आधी करू

205   तो 9840 असा आला. आता दशांश

x 48     टिंबानंतर 2.05 मधे 2 व ए4.8 मधे एक

--------   आकडा येतो म्हणून गुणाकारात 2 + 1 = 3

1640     असे आकडे दशांश टिंबानंतर येतात

+8200

--------

9840

∴ गुणाकार = 9.840 = 9.84 असा आला. पुन्हा लक्षात असू द्या की दशांश टिंबानंतरच्या अपूर्णांक संख्येच्या शेवटी कितीही शून्ये लिहिली किंवा काढली तरी अपूर्णांक बदलत नाही. 

उदा. (3) .12 * 1.63

इथे 12 x 163 हा गुणाकार प्रथम करू. तोच 163 x 12 असा करणं अधिक सोपं आहे.

163     आता .12 मधे दशांश टिंबानंतर 2 आक़डे

x 12    व 1.63 मधेही दोन आकडे टिंबानंतर आहेत.

--------

1956

∴ गुणाकारात टिंबाच्या उजव्या बाजूला 2 + 2 = 4 आकडे आले पाहिजेत ∴ .12 x 1.63 = .1956.

उदा. (4) .08 x 1.2

इथे पूर्णांक संख्या केल्यावर 08 म्हणजेच 8 व 12 या दोन पूर्ण संख्या मिळतात. 8 x 12 = 96 आहे. आता .08 मधे दशांश टिंबानंतर 2, 1.2 मधे टिंबानंतर 1 आकडा आहे म्हणून गुणाकारात दशांश टिंबाच्या उजव्या बाजूला 2 + 1 = 3 आकडे हवेत. 96 या पूर्ण संख्येत दोनच आकडे आहेत पण लक्षात ठेवा की पूर्ण संख्येच्या डाव्या बाजूला कितीही शून्ये लिहिता येतात म्हणून 96 = 096 असे लिहून गुणाकार येतो .08 x 1.2 = .096.

सरावासाठी खालील गुणाकार करा. 4.6 x 1.4, 5.2 x 1.15, .8 × 3.72, .16 x 2.5, 03 x 2.9, 18.6 x .13.

आता दशांश अपूर्णांकांचा भागाकार कसा करायचा ते पाहू. उदाहरणार्थ 38.16 ÷ 1.2 हा भागाकार करू या.

भागाकार करताना भाजक हा पूर्णाक करून घेतला की सोपे होते पण भाजक अपूर्णांक असून त्याचा पूर्णांक करायचा म्हणजे 10, 100 किंवा तसल्याच संख्येने गुणायचे मग आपला भागाकार चुकणार नाही का ? 1.2 ऐवजी 12 ने भागले, तर भागाकार कमी येईल पण मग भागाकार चुकू नये म्हणून भाजकाला ज्या संख्येने गुणायचं त्याच संख्येने भाज्यालाही गुणलं तर भागाकार बदलणार नाही म्हणून भाजकाचा पूर्णांक बनवण्यासाठी ज्या संख्येने भाजका गुणायचं त्याच संख्येने भाज्यालाही गुणावं लागतं, किंवा भाजकाचा पूर्णांक करण्यासाठी दशांश टिंब जेवढी स्थाने उजवीकडे सरकवावं लागतं तेवढीच स्थाने भाज्यातील दशांश टिंबही उजवीकडे न्यावं लागतं.

38.16 ÷ 1.2 मधे, 1.2 हा भाजक आहे व त्यातील दशांश टिंब एक स्थान उजवीकडे नेलं की तो 12 हा पूर्णांक होतो मग भाज्यातही तेच करून 381.6 असा नवा भाज्य मिळतो. म्हणून 38.16 ÷ 1.2 म्हणजेच 381.6 ÷ 12 हे मिळालं की 381.6 ÷ 12 हा भागाकार नेहमीप्रमाणे करायचा. पण दशांश टिंब द्यायचे. जसे

 इथे भाज्यातील 38, 1 हे आकडे वापरून झाल्यावर टिंबानंतरचा 6 हा आकडा खाली उतरवताना भागाकारात 31 नंतर टिंब दिले आहे. एरवी भागाकाराची पद्धत तीच.

आणखी एक उदाहरण पहा -

23.8 ÷.14 इथे भाजक .14 आहे तो 14 करताना दशांश टिंब दोन स्थाने उजवीकडे हलवले. भाज्यात टिंबानंतर एकच आकडा आहे पण नंतर हवी तेवढी शून्ये घेता येतात म्हणून दोन स्थाने दशांश टिंब उजवीकडे नेऊन भाज्य बनतो 2380.

म्हणून 23.8 ÷ .14 = 2380 ÷ 14

याप्रमाणे भागाकारही पूर्णांक म्हणजे 170 आला.





 साध्याअपूर्णांकांचा भागाकार कसा करतात आठवते ना ? लक्षात ठेवा की एकाद्या संख्येला व्यवहारी अपूर्णांकाने भागणे म्हणजे तो अपूर्णांक उलटा करून गुणणे होय.

उदाहरणार्थ 48 ÷ 3/4 = 48 x 4/3= 64

किंवा 56/9 ÷ 6/5 = 56/9 x 5/6 = 140/27

आता दशांश अपूर्णांकांच्या भागाकाराचा नियम बरोबर कसा आहे पहा हं !

23.8 ÷ .14 = 238/10 ÷ 14/100

= 238/10 x 100/14 = 2380/14

= 2380 ÷ 14

आणि दशांश टिंब सरकवण्याच्या नियमाने देखील हाच भागाकार आला ना ?

सरावासाठी पुढील भागाकार करा.

81.92 ÷ 1.6, 3.375 ÷ 4.5, 129. ÷ 1.2.