तिजहून किंचित् लहान अशी दुसरी एक बांगडी घ्यावी. दोन्ही एकमेकांना चिकटतील अशा धराव्या. मग एक पूर्वपश्चिम उभी धरून तीत दुसरी दक्षिणोत्तर उभी धरावी. अशा स्थितीत असतां बांगड्यांची वर्तुळे परस्परांवर लंब आहेत, असे म्हणतात. म्हणजे त्यांचा तिर्कसपणा अथवा कोन ९० अंशांचा असतो. व यावरून सुमारे २३॥ अंश म्हणजे किती तिर्कसपणा हे समजेल.
आमच्या प्राचीन ज्योतिषग्रंथांत क्रांतिवृत्ताचे तिर्यक्त्व २४ अंश सांगितले आहे. सुमारे चार हजार वर्षांपूर्वी ते खरोखर तितकेंच होते. पुढे उत्तरोत्तर कमी होत आहे, असे सूक्ष्म शोधांवरून समजले आहे.
वरील दोन बांगड्यांत आंतल्या बांगडीचा पृष्ठभाग आणि बाहेरचीचा आंतला भाग ही दोन समान वर्तुळे आहेत. ह्या बांगड्या परस्परांस दोहोंहून जास्त ठिकाणी छेदीत नाहीत, असे दिसून येईल. जेथें छेदितात तेथे परस्परांस दुभागतात. याप्रमाणेच क्रांतिवृत्त आणि विषुववृत्त ही सारखी आहेत, ती परस्परांचे दोन समान भाग करितात. क्रांतिवृत्त अर्धे विषुववृत्ताच्या दक्षिणेस व अर्धे उत्तरेस असते दोन वर्तुळे ज्या बिंदूत परस्परांस छेदितात त्या बिंदूंस संपात असे म्हणतात.
सूर्य विषुववृत्तांतून फिरत नाही, क्रांतिवृत्तांतून फिरतो. यामुळे पृथ्वीच्या रोजच्या भ्रमणांत तो रोज थेट पूर्वेस उगवत नाही. सहा महिने थोडासा दक्षिणेस आणि सहा महिने उत्तरेस उगवतो. सुमारे दिसेंबरच्या २१ व्या तारखेस विषुववृत्ताच्या दक्षिणेस असण्याची त्याची सीमा होते. त्या वेळी त्याची दक्षिणक्रांति सुमारे २३ अंश २७ कला असते. व त्या दिवशी तो पूर्वबिंदूच्या दक्षिणेस सुमारे २५ अंश उगवतो.* या दिवशी सायन मकरसंक्रांति होते. या दिवसापासून सूर्याचे उत्तरेस जाणे म्हणजे उदगयन सुरू होते. मार्चच्या २१ व्या तारच्या सुमारास तो विषुववृत्तावर येऊन थेट पूर्वेस उगवतो. जूनच्या २१ व्या तारखेस त्याच्या उदगयनाची सीमा होऊन, दक्षिणायन लागते. या दिवशी सायन कर्कसंक्रमण होते. पुन्हा सप्तंबरच्या २२ व्या तारखेस तो विषुववृत्तावर थेट पूर्वेस उगवतो. दिसेंबरच्या २१ व्या तारखेस तो फार दक्षिणेस असतो, यामुळे उगवल्यापासून मावळेपर्यंत त्याचा फेरा लहान होतो. म्हणून त्या दिवशी दिनमान अगदी कमी असते. यामुळे, आणि दोन प्रहरीही त्याचे किरण तिर्कस पडतात म्हणून, तेव्हां थंडी फार पडते. जूनच्या २१ व्या तारखेस सूर्याचा उदयास्त फेरा फार मोठा असतो. म्हणून त्या दिवशी दिनमान फार मोठे होते. आणि दोन प्रहरी त्याचे किरण बहुधा समोर पडतात. म्हणून तेव्हां उन्हाळा असतो. आपल्या देशांत २३|| हून कमी अक्षांशांच्या स्थली अप्रिलपासून पांच महिन्यांत सूर्य
* खस्थ ज्योति उगवतात किंवा मावळतात, तेव्हा त्यांचे पूर्वबिंदूपासून जें अंतर असते त्यास अग्रा म्हणतात. विषववृत्तावर क्रांतीइतकीच अग्रा असते. उत्तरोत्तर वाढते. २० अंशांवर २३॥ क्रांतीची अग्रा सुमारे २५ अंश असते. पूर्वबिंदूपासून दक्षिण किंवा उत्तरबिंदूपर्यंत अंतर ९० अंश असते,
