गणिताच्या सोप्या वाटा/सातवीसाठी जादा पुरवणी

विकिस्रोत कडून
Jump to navigation Jump to search

इयत्ता सातवी साठी जादा पुरवणी

लसावि / मसावि

लसावि आणि मसावि म्हणजे काय व संख्यांचे मूळ अवयव पाडून दिलेल्या संख्यांचे लसावि व मसावि कसे काढायचे हे तुम्ही शिकलात. मोठाल्या संख्यांचे अवयव पाडायला त्रास होतो तेव्हा मसावि शोधण्याची आणखी एक रीत सातवीच्या पुस्तकात आहे. ती अशी - 1. दिलेल्या संख्या M व N असतील आणि N ही M पेक्षा मोठी असेल, तर N ला M ने भागा व बाकी किती येते पहा. बाकी जर N1 असेल, M व N चा मसावि हा M N N1 च्या मसावि इतका असतो. दोन संख्यांचा मसावि लिहिण्यासाठी एक पद्धत वापरली जाते. गोल कंसांचा उपयोग त्यात आहे. 

(M. N) = M व N चा मसावि.

N ला M ने भागल्यावर q हा भागाकार असेल व N2 # 0 बाकी असेल, तर

S N = qM + N1 हे समीकरण मिळते. इथे N1 ही बाकी असल्यामुळे, N1 <M <N (N > M हे दिलेले आहे.)

आता आपली कंसांची पद्धत वापरून असे लिहिता येईल की (M. N) = (M. N1) , मात्र N1 हा शून्य असता नये.

N1 < M. म्हणून आता N1 ने M ला भागू व बाकी M1 आल्यास, व M1 शून्य नसेल, तर (M.N) = (M, N1) = (M1, N1) आणि M1 < N1 हीच पद्धत पुन्हा. वापरून M1 ने N1 ला भागायचे व बाकी N1 असेल, N2 # O. तर (M1. N2) = (M,, N.) आणि N2 < M1 आता तुमच्या लक्षात आलं का, की, आपण हळू हळू M व N या ऐवजी अधिकाधिक लहान संख्या वापरतो आहोत ! काही वेळाने अशी स्थिती येते की लहान संख्येने मोठ्या संख्येला पूर्ण भाग जातो व बाकी शुन्य उरते. अशा वेळी ती लहान संख्या हाच त्या दोन संख्यांचा मसावि असतो. कारण दिलेल्या दोन संख्यांपैकी एकीने दुसरीला पूर्ण भाग गेला, तर जिने भाग जातो ती संख्या हीच त्या दोघींचा मसावि असते जसे

(12, 36) = 12

या नव्या पद्धतीने एक गणित सोडवून पाहू.

उदा. 72 व 119 यांचा मसावि काढा.

इथे 72 < 119

119 ला 72 ने भागू या.

गणिताच्या सोप्या वाटा (Ganitachya Sopya Wata).pdf


∴ (72, 119) = (72, 47)


आता 72 ला 47 ने भागू या.


गणिताच्या सोप्या वाटा (Ganitachya Sopya Wata).pdf


∴ (72, 119) = (72, 47) = (47, 25)

∴ (47, 25) = (25, 22)

∴ (25, 22) = (22, 3)


∴ (72, 119) = (22, 3) = (3, 1) = 1

या गणितात 72 व 119 यांना 1 शिवाय दुसरा समान अवयव नाही हे समजले. म्हणून त्यांचा म.सा.वि. 1 आला.

आणखी एक उदाहरण पाहू.

उदा. (119, 154) शोधा

119 < 152 म्हणून 119 ने 154 ला भागू.

गणिताच्या सोप्या वाटा (Ganitachya Sopya Wata).pdf


∴ (119, 154) = (119, 35)

∴ (119, 35) = (35, 14)

∴ (14, 35) = (14, 7)


आता 7 ने 14 ला पूर्ण भाग जातो म्हणून (14, 7) = 7,

∴(119, 154) = 7

दिलेल्या दोन संख्यांचा मसावि शोधण्याची ही रीत सोपी आहे ना? मात्र भागाकार करण्याची भरपूर सवय हवी त्यात चुकू नका.

 दिलेल्या संख्यांचा लसावि शोधण्याची अशी सोपी रीत सरळ सरळ दिसत नाही. पण एक सूत्र तुम्हाला उपयोगी पडेल. दिलेल्या दोन संख्यांचा गुणाकार हा त्या दोन संख्यांच्या लसावि व मसावि यांच्या गुणाकाराएवढा असतो. म्हणजे M व N या दोन संख्या असतील व A हा त्यांचा मसावि व B हा लसावि असेल तर.

M X N = A X B

आता A = (M, N) शोधण्याची सोपी रीत वापरून A ची किंमत काढली तर वरील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना A ने भागून व बाजूंची अदलाबदल करून

B = M x N/ A असे सूत्र मिळते.

सरावासाठी खालील जोड्यांचे मसावि व लसावि काढा.

(1) 48, 68

(2) 172, 120

(3) 120, 195