गणिताच्या सोप्या वाटा/अपूर्णांक व बीजगणित

अपूर्णाक व बीजगणित :

अपूर्णांकांची बेरीज वजाबाकी वे गुणाकार भागाकार आपण शिकलो आहोत. एक गोष्ट विसरू नका की एखाद्या व्यवहारी अपूर्णांकाने भागाकार म्हणजेच तो अपूर्णाक उलटा करून त्याने गुणाकार करायचा. जसे

4/9 ÷ 1/3 = 4/9 x 3/1 = 4/3 किंवा 5/12÷ 2/3 = 5/12 x 3/2 = 5/8

या गणितात आणखी एका गोष्टीचा सराव हवा. अपूर्णाकांचे गुणाकार

करताना आपण अंशा अंशाचे व छेदा छेदांचे गुणाकार करतो. अशा वेळी अंश व छेद यांच्या सामायीक अवयवाने अंश व छेद दोघांना भागून संक्षिप्त रूप देता येते म्हणजेच उत्तरातील अपूर्णाक फार मोठ्या आकड्यांचा न ठेवता शक्य तेवढ्या लहान संख्यांचा होतो.

जसे 4/9 x3/1 = 4 x 3/9 अंश व छेद दोघांत 3 हा अवयव आहे, त्याने भागून

4 x 3/9 = 4/3 हे संक्षिप्त रूप आले.

5/12 x 3/2 = 5 x 3/12 x 2 = 5/4 x 2 = 5/8   (इथे 3 या सामायिक अवयवाने अंश व छेद यांना भागले)

दोन अपूर्णांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करतांना दोन्ही अपूर्णांकाचे छेद समान ठेवून मग अंशांची बेरीज किंवा वजाबाकी करायची असते हे विसरू नका.

अधिक व उणे संख्यांचा किंवा धन व ऋण संख्यांचा गुणाकार करताना हे नियम विसरू नका.

(धन) x (धन) = धन, (धन) x (ऋण) = (ऋण)

(ऋण) x (ऋण) = धन, (ऋण) x (धन) = (ऋण)

जसे भागाकार म्हणजे उलटा करून गुणाकार तसेच एखादी बहुपदी वजा करणे म्हणजे चिन्ह बदलून बेरीज करणे हेही लक्षात ठेवा. वेगवेगळ्या बहुपदीसाठी कंस वापरा व एखाद्या बहुपदीचे चिन्ह बदलायचं म्हणजे त्यातील प्रत्येक पदाचे चिन्ह बदलायचं हेही विसरू नका. दोन बहुपदींचा गुणाकार करताना कंस वापरा व ते हळू हळू, एका वेळी एक कंस याप्रमाणे सोडवा.

उदा. (m-3n+4) व (2m+n) या दोन बहुपदीचा गुणाकार करा.

(m-3n+4) x (2m+n) हा गुणाकार करताना प्रथम पहिला कंस सोडवू व मग दुसरा.

(m-3n+4) x (2m+n) = m x (2m+n) - 3n x (2m+n) + 4 (2m+n)

= 2m² +mn - 3n x 2m - 3n x n + 8m+ 4n

= 2m² +mn - 6mn - 3n² + 8m + 4n

= 2m² - 5mn - 3n² + 8m + 4n   इथे - 3n ने 2m+n ला गुणताना कंसातील प्रत्येक पदाला गुणलं आहे तसंच पहिला कंस सोडवून झाल्यावर दुसरा सोडवला आहे. मग सजातीय पदांची बेरीज किंवा वजाबाकी केली आहे. तसंच m² = mxm किंवा m³= m x m x m इत्यादी लक्षात आहे ना?

आणखी दोन उदाहरणे पाहू.

उदा. 1 (2m + n) चा वर्ग करा म्हणजेच

(2m + n) x (2m + n) हा गुणाकार करा.

(2m+n) x (2m+n) = 2m x (2m+n) + n x (2m+n)

= 4m² + 2mn + 2mn + n²

= 4m² + 4mn + n²

उदा. 2 (2a-3b) व (2a-3b+4) यांचा गुणाकार करा

(2a+3b) x (2a-3b+4) = 2a x (2a-3b+4)-3b x (2a-3b+4)

= 4a²–6ab+8a - [6ab-9b²+12b]

        (इथे 3b ने कंसातील प्रत्येक पदाला गुणले पण वजा चिन्ह कंसाबाहेर ठेवले)

= 4a²–6ab+8a - 6ab+9b²-12b  (आता कंसातील प्रत्येक पद वजा केले)

=4a²-12ab+9b²+8a-12b

सरावासाठी खालील गुणाकार करा.

(1) (x-2) (y-3)

(2) (2x+1) (x+3)

(3) (3a+4b) (2a-b)

(4) (4m-n) (m+7n-8) 

मिश्रक्रियांची पदावली : कधी कधी एकाच पदावलीत बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार यापैकी कुठल्याही वेगवेगळ्या क्रिया करायच्या असतात. अशा वेळी कुठली आधी व कुठली नंतर करायची याचा गोंधळ होतो. कारणं असं पहा -

4+3x7-2 या पदावलीत बेरीज आधी केली व नंतर गुणाकार व नंतर वजाबाकी केली तर 7x7-2 व 49-2 = 47 असं उत्तर येतं. पण आधी गुणाकार केला तर त्याच पदावलीचं 4+21-2 = 25-2 = 23 असं उत्तर येतं. म्हणजे वेगळ्या क्रिया आधी केल्या तर उत्तर वेगळं येऊ शकतं यासाठी नियम असा आहे की आधी सगळ्या गुणाकार व भागाकार यांच्या क्रिया डाव्या बाजूपासून करायच्या. नंतर बेरीज व वजाबाकी या क्रिया डावीकडून उजवीकडे करीत यायचं.

म्हणून 4+3x7-2 = 7x7-2 = 49-2 = 47 हे चूक आहे.

4+3x7-2 = 4+21-2 = 25-2 = 23 हे बरोबर आहे.

आणखी एक उदाहरण पहा - उदा. 8÷7x4+5x2 ही पदावली सोडवा.

आधी 8÷7x4 करू, 8÷7x4 = 8/7 x 4 = 32/7 = 44/7

मग 5x2 = 10 हे सोडवले व पदावलीचे नवे रूप

44/7 + 10 = 144/7 असे उत्तर आहे.

पुनः नियम लक्षात ठेवा : (1) साधारणपणे डावीकडून उजवीकडे गणिती क्रिया करायच्या (2) गुणाकार व भागाकार यांच्या क्रिया आधी करून बेरीज व वजाबाकीच्या क्रिया नंतर करायच्या. सरावासाठी खालील पदावल्या सोडवा.

(1) 5÷2 + 4x3 ÷ 8

(2) 100 - 15 ÷ 5x4 + 8 ÷ 2

(3) 10x2 ÷ 6 + 50 ÷3 -4x2

या पदावल्या सोडवताना गोंधळ होत असल्यास ज्या पदांमध्ये गुणाकार किंवा भागाकार आहे त्या पदांभोवती कंस घालून ते कंस 

वेगवेगळे सोडवले तर चूक होत नाही.

उदा. 5÷2 -4x3 + 17x3÷2

या पदावलीत कंस घालून

(5÷2) - (4x3) + (17x3÷2) असे रूप येते.

मग 5÷2 = 21/2 , 4x3 = 12, 17x3÷2 = 51/2 = 251/2

∴ पदावलीची किंमत (21/2)- (12) + (251/2)

=1/2 - 10 + 251/2

= 26-10 = 16 असे उत्तर येते.

ज्यावेळी फक्त बेरीज व वजाबाकी एवढ्याच क्रिया उरतात त्यावेळी सर्व धन संख्यांची बेरीज आधी केली तर सोपे जाते. अपूर्णांकाच्या पदावल्या देखील अशाच सोडवता येतात.

उदा. 22/7 - 2/7 ÷ 22/21 + 5/3ही पदावली सोडवा,

22/7 - (2/7 ÷ 22/21) + 5/3 (भागाकार क्रिया असलेल्यापदाभोवती कंस टाकून)

मग 2/7 ÷ 22/21 = 2/7 x 21/22 = 3/11

∴22/7 - 2/7 ÷ 22/21 + 5/3 = 22/7 - 3/11 + 5/3

आता सर्व अपूर्णांकांना 7x11x3 हा छेद ठेवू व पदावलीचे नवे रूप

22/7 - 3/11 + 5/3 = 22x 33 -3x21 +5x77/7x11x3

=726-63+385/7x11x3 = 663+385/7x11x3 = 1048/7x11x3

     = 1048/231

 सरावासाठी खालील पदावल्या सोडवा

(1) 4/3 - 9/22 ÷ 3/11 + 5/3 x 1/2

(2) 22/7 x 4/11 - 8/3 - 1/14 ÷ 1/7