गणिताच्या सोप्या वाटा/गुणोत्तर प्रमाण



गुणोत्तर प्रमाण

हा भाग अत्यंत महत्त्वाचा आहे. अनेक प्रकारची गणिते या एका पद्धतीने सोडवता येतात. तेव्हा ही पद्धत नीट शिकून घ्या. सोपी आहे, मात्र या पद्धतीने भरपूर गणिते सोडवून सराव करा. तुम्हाला हे माहीत आहेच की सगळ्या मुलांना सारख्या प्रमाणात किंवा समप्रमाणात पेढे वाटायचे असतील तर जेवढी जास्त मुलं असतील त्याच प्रमाणात पेढे लागतील. समजा प्रत्येक मुलाला दोन पेढे द्यायचे आहेत तर आठ मुलांना आठ दुणे 16 पेढे लागतील. नऊ मुलं असतील तर नऊ दुणे अठरा पेढे हवेत. 32 मुलं असली तर 32 x 2 = 64 पेढे हवेत. खरं ना ? आता हे गणित समप्रमाणाचे आहे कारण जशी मुलं बाढतील, तसे पेढे वाढणार व मुलं कमी झाली की पेढे कमी लागणार. म्हणजे अशा प्रकारच्या गणितात मुलं व पेढे समप्रमाणात असतात, किंवा मुलांची संख्या/पेढ्यांची संख्या हा अपूर्णांक, म्हणजेच मुलं व पेढे यांचे गुणोत्तर प्रमाण कायम असतं. या ठिकाणी हे गुणोत्तर प्रमाण मुलांची संख्या/पेढ्यांची संख्या =${\frac {8}{16}}={\frac {9}{18}}={\frac {1}{2}}$ असे आहे. एका मुलाला दोन पेढे हे प्रमाण ठरलेलं आहे - म्हणजेच मुलं व पेढे यांचे गुणोत्तर प्रमाण ${\frac {1}{2}}$ असं आहे.

कितीही मुलं असली तरी हे प्रमाण किंवा हा अपूर्णांक बदलत नाही. कारण कुठल्याही अपूर्णांकात अंश व छेद दोघांनाही एकाच संख्येने गुणलं किंवा भागलं तर अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाहीहे ध्यानात असू द्या. म्हणूनच ${\frac {8}{16}}={\frac {9}{18}}={\frac {1}{2}}.{\frac {8}{16}}$ मधे अंश व छेद दोघांनाही 8 ने भागलं किंवा ${\frac {9}{18}}$ मधे अंश व छेद दोघांनाही 9 ने भागलं तर ${\frac {1}{2}}$ हाच अपूर्णांक येतो. उलट ${\frac {1}{2}}$ या अपूर्णांकाच्या 

अंश व छेद दोघांना 8 ने गुणलं तर 8/16 मिळतो, 9 ने गुणलं तर 9/18 हा अपूर्णांक मिळतो.

सोप्या गणितात हे गुणोत्तर प्रमाण सरळ दिलेलं असतं. जरा कठीण गणितात हे शोधावं लागतं. आधी सोपी व मग जरा कठीण अशी गुणोत्तर प्रमाणाची गणितं सोडवून पाहू या.

उदा० एका शाळेतील मुली व मुलगे यांचे गुणोत्तर प्रमाण 4/5 असे आहे. मुलींची संख्या 76 असेल तर मुलगे किती आहेत ?

मुलींची संख्या/मुलग्यांची संख्या = 4/5

आता मुलगे ‘क्ष आहेत असे मानू

∴ 4/5 = 76/क्ष

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5क्ष ने गुणू

4/5 x 5 x क्ष = 76/क्ष x 5 x क्ष

∴ 4क्ष = 380

∴ क्ष = 95 ∴ मुलगे 95 आहेत.

या गणितात आपण कशाचा उपयोग केला हे पाहिलंत का ? मुली व मुलगे यांचे गुणोत्तर प्रमाण 4/5 असं आहे याचा व माहीत नसलेली संख्या क्ष आहे असे मानून एक समीकरण तयार केले व ते समीकरण सोडवून क्ष ची किंमत काढली. समप्रमाणात वाढणाच्या संख्यांची गणितं या पद्धतीने चटकन सोडविता येतात. आणखी एक उदाहरण पहा.

उदा० एका ऑफीसामधे टेबले व खुर्च्या यांचे प्रमाण 2/5असे आहे. खुर्च्या 260 आहेत तर टेबले किती ?

इथेही टेबलांची संख्या माहीत नाही ती ट आहे असे मानू मग टेबलांची संख्या व खुच्र्यांची संख्या यांचे गुणोत्तर प्रमाण ट/260असंही मिळतं व



ते 2/5 असंही आहे याचा उपयोग करून

ट/260 = 2/5 हे समीकरण मिळतं.

मग दोन्ही बाजूंना 260 ने गुणलं तर दोन्ही बाजूंचे छेद जातील (हवंतर 260 × 5 या संख्येनेही गुणू शकता)

मग ट/260 x 260 = 2/5 x 260 असे समीकरण आले.

2/5 X 260 या अपूर्णांकात अंश 2 x 260 व छेद 5 आहे दोघांनाही 5 ने भागलं की अंश = 520/5 = 104 किंवा 2 X 52/1 = 104 असा येतो तर छेद 1 मिळतो.

∴ ट = 104 किंवा टेबलांची संख्या 104 आहे. आतां किंचित कठीण गणित पहा.

उदा० आठ मुलांना 24 चॉकलेट वाटली त्याच प्रमाणात चॉकलेट द्यायची असतील तर 15 मुलांना किती चॉकलेट लागतील ?

इथे मुलं व चॉकलेट यांचं गुणत्तर प्रमाण सरळ दिलेलं नाही पण मुलं वाढली तर चॉकलेट त्याच प्रमाणात वाढतात म्हणून ते समप्रमाणात आहेत. त्यांचे गुणोत्तर प्रमाण माहीत नसलं तरी 8 मुलांना 24 चॉकलेट लागतात हे माहीत आहे म्हणून

मुले/चॉकलेट हे गुणोत्तर 8/24 = 1/3 आहे असे शोधून काढता येतं. आता 15 मुलांना च चॉकलेट लागतात असे मानूं. मग

15/च = 1/3 हे समीकरण मिळतं. दोन्ही बाजूंना 3च ने गुणलं की 15/च x 3 x च = 1/3 x 3 x च

∴ 15 x 3 = च

बाजूंची अदलाबदल करून च = 45 हे उत्तर मिळतं.

∴ 15 मुलांना 45 चॉकलेटं लागतील. 

आणखी एक गणीत पहा -

उदा० प्रत्येक पिशवीत सारख्याच गोट्या भरायच्या आहेत. चार पिशव्या भरायला 32 गोट्या लागतात तर 7 पिशव्या भरायला किती गोट्या लागतील ?

पिशव्या व गोट्या सम प्रमाणात वाढतात किंवा कमी होतात म्हणून त्यांचे गुणोत्तर प्रमाण कायम असले पाहिजे. ते 4/32 = 1/8 आहे कारण 4 पिशव्या भरायला 32 गोट्या लागतात. आतां 7 पिशव्या भरायला ग गोट्या लागतात असे मानूं. मग 1/8= 7/ग हे समीकरण मिळाले.

दोन्ही बाजूंना 8ग ने गुणू.

1/8x 8ग = 7/ग x 8ग

किंवा ग = 56

∴ 7 पिशव्या भरायला 56 गोट्या लागतील.

आणखी एक उदाहरण पहा - कुठल्या दोन गोष्टींचे गुणोत्तर पहायचं ते काळजीपूर्वक ध्यानात घ्या.

उदा० सारखेच मणी असलेल्या माळा करायच्या आहेत. 27 मणी असले तर 3 माळा होतात. 63 मणी असले तर किती माळा होतील ?

मणी व माळा सारख्या प्रमाणात वाढतात. म्हणून मणी/माळा हे गुणोत्तर कायम आहे त्याचा उपयोग करू.

मणी/माळा = 27/3 = 9/1 (अंश व छेद दोघांनाही 3 ने भागले)

आता 63 मणी असल्यास म माळा होतात असे मानूं. मग

63/म = 9/1

∴ 63 = 9म (म ने दोन्ही बाजूंना गुणले)

∴ म = 7 (दोन्ही बाजूंना 9 ने भागले व डाव्या व उजव्याबाजूंची अदलाबदल केली).

∴ 63 मण्यांच्या 7 माळा होतील.

आता आपण मणी/माळा हे गुणोत्तर वापरलं. त्याऐवजी माळा/मणी हे गुणोत्तर वापरलं. तरी गणित बरोबर येईल.

कारण माळा/मणी = 3/27 = 1/9

∴म/63 = 1/9

∴म = 1/9 x 63 = 7 (दोन्ही बाजूंना 63 ने गुणले)

पुन्हा लक्षात ठेवा की कुठल्याही दोन वस्तू एकाच प्रमाणात बदलत असतील तर त्याचे गुणोत्तर कायम असतं. ते गुणोत्तर माहीत झालं की त्या वस्तूंपैकी एकीची संख्या ठाऊक असली तर दुसरीची संख्या काढता येते. त्यासाठी माहीत नसलेल्या संख्येच्या ऐवजी अक्षर मानून, गुणोत्तर प्रमाण दोन प्रकारांनी लिहून समीकरण मांडा व ते सोडवा.

आणखी एक उदाहरण पहा.

उदा. 5 ली. गोडे तेलास 65 रु. पडतात. राजश्रीजवळ 104 रु. आहेत. तर तिला त्यात किती तेल घेता येईल ?

पैसे जास्त असतील तर तेल जास्त मिळेल म्हणून ह्या दोन्ही वस्तू समप्रमाणात बदलतात. ∴लीटर तेल/रुपये हे गुणोत्तर कायम आहे.

लीटर तेल/रुपये = 5/65 = 1/13 (अंश व छेद यांना 5 ने भागले)

104 रु. ना ल लीटर तेल मिळते असे मानूं.

∴ल/104 = 1/13

∴ल = 1/13x 104 = 8 (दोन्ही बाजूंना 104 ने गुणले)

∴8 लीटर तेल 104 रु. ना. मिळेल.



 आता समप्रमाणावरची काही साधी गणित सोडवा. - त्यापूर्वी पुन्हा एकदा लक्षात ठेवा.

 गुणोत्तर प्रमाणाची गणितं करताना आपण कुठल्या दोन गोष्टीचं गुणोत्तर घेतो ते नीट पहा. म्हणजेच गुणोत्तराच्या अंशस्थानी कुठली व छेदस्थानी कुठली संख्या आहे ते पहा व त्यात गोंधळ करू नका. माहीत नसलेल्या संख्येसाठी अक्षर माना व गुणोत्तराचा अपूर्णांक पुन्हा, अक्षर वापरून लिहा. दोन्ही प्रकारांनी लिहिलेलं गुणोत्तर एकच आहे याचा उपयोग करून समीकरण लिहा व ते सोडवा. मग अक्षरांची किंमत किंवा जी संख्या शोधायची ती मिळेल.

 सरावासाठी गणिते -

(1) तीन किलो तांदळांना 12 रू. पडतात तर 8 किलो तांदळांना किती रूपये पडतील ?

(2) 2 लीटर पेट्रोलमध्ये गाडी 46 किलोमीटर जाते. तर 161 कि.मी. जाण्यासाठी किती पेट्रोल लागेल ?

(3) 35 रु. मधे 5 किलोग्राम साखर मिळते तर 18 कि. ग्राम साखरेला किती रुपये पडतील ?

(4) 100 रु. कर्ज काढल्यास दर वर्षी 18 रु. व्याज द्यावे लागते तर 150 रु. काढल्यास किती व्याज दर वर्षी द्यावे लागेल ?