... तर त्याचं घर कुठे होतं ?

विकिस्रोत कडून
Jump to navigation Jump to search


८. ... तर त्याचं घर कुठे होतं ?[संपादन]

 (१) एका गृहस्थाने आपल्या घराभोवती गोल भिंत बांधली आणि त्या भिंतीत बाहेर पाहायला खिडक्या केल्या. पण गंमत अशी की कुठल्याही खिडकीतून बाहेर पाहिलं, की त्याला दक्षिण दिशा दिसे. त्याचं घर कुठे होतं?

 (२) एक गृहस्थ आपल्या घरातून निघून सरळ दिशेने एक मैल चालत गेला. त्याच्या लक्षात आलं की आपण दक्षिणेकडे जात आहोत. मग दिशा बदलून तो मैलभर पश्चिमेकडे गेला आणि परत दिशा बदलून मैलभर उत्तरेकडे चालत आला - तो थेट आपल्या घरीच पोचला ! त्याचं घर कुठे होतं?

 ह्या दोन्ही प्रश्नाचं एकच उत्तर आहे ? त्या गृहस्थाचं घर उत्तर ध्रुवावर होतं.

 ह्यावरून असा ग्रह होण्याचा संभव आहे, की उत्तर ध्रुवात काहीतरी वैशिष्ट्य आहे.

 पृथ्वी बरोबर गोलाकार आहे असं गृहीत धरलं (वस्तुस्थिती तशी नाही ह्या तपशिलाशी आपल्याला इथे कर्तव्य नाही) तर त्यावरील प्रत्येक बिंदू सारखाच. वरील कोड्यात उत्तर ध्रुवाला महत्त्व प्राप्त होतं. कारण आपण उत्तर - दक्षिण वगैरे दिशा ठरवायला उत्तर ध्रुव कोणीकडे आहे ह्याची दखल घेतो. पृथ्वी दोन्ही ध्रुवांना जोडणा-या अक्षाभोवती फिरते,

म्हणून आकाशातलं तारामंडळ फिरताना दिसतं - फक्त अक्षाच्या दिशेने उत्तरेकडे असलेला ध्रुवतारा स्थिर असलेला दिसून येतो. ह्याच ध्रुवता-याच्या मदतीने समुद्रावरचे खलाशी दिशा ठरवू लागले .....

 पण जर पृथ्वी अक्षाभोवती फिरत नसती तर कुठलेही (पृथ्वीच्या केंद्रातून काढलेल्या) व्यासाच्या टोकावरचे दोन बिंदू आपल्याला ध्रुव म्हणून गृहीत धरून अक्षांश-रेखांश काढता आले असते, आणि पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर दिशा ठरवता आल्या असत्या.

पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरची भूमिती :

गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. १

 चित्र क्रमांक १ मध्ये पृथ्वीच्या पृष्ठभागाची गोलाकार आकृती दाखवली आहे. समजा, एक गृहस्थ उत्तर ध्रुवावरून ग्रीनिच मेरिडियन (०° चा रेखांश) वरून दक्षिणेकडे निघाला. सरळ (दिशा न बदलता) प्रवास करून तो अखेरीस विषुववृत्तापर्यंत पोचला. तेथे तो दिशा बदलून पूर्वकडे निघाला. विषुववृत्तावरून सरळ जाऊन शेवटी तो ९०° च्या रेखांशावर पोचला आणि तेथे त्याने पूर्वेपासून उत्तरेकडे मोर्चा वळवला. ह्या रेखांशावरून सरळ जाऊन तो शेवटी परत उत्तर ध्रुवावरचे जाऊन धडकेल. मात्र त्याची परत येण्याची दिशा त्याच्या निघण्याच्या दिशेशी काटकोन करून असेल. 

 त्याचा मार्ग चित्र क्र. २ मध्ये दाखवला आहे. त्याच्या मते तो तीन वेळा सरळ रेषांतून गेला (दिशा न बदलता) पण त्याने आखलेला त्रिकोण गमतीदार आहे. त्याचे तीनही कोन काटकोनाचे आहेत. म्हणजे त्या त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज २७०° भरते !

गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. २

नवीन भूमितीचे नियम :
 वरील उदाहरणावरून असे सिद्ध होतं की पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर काढलेले त्रिकोण युक्लिडच्या भूमितीचे नियम पाळत नाहीत. आपण शाळेत शिकतो ती भूमिती युक्लिड ह्या ग्रीक गणितज्ञाने सुमारे दोन हजार वर्षापूर्वी शोधून काढली. त्या भूमितीत काही गोष्टी स्वयंसिद्ध म्हणून गृहीत धरल्या आहेत. त्या ‘खऱ्या' समजून त्यावर प्रमेये आधारली असून ती सिद्ध करताना तर्कशास्त्राचा वापर केला जातो. ह्या युक्लिडच्या भूमितीतले प्रमेयच आपल्याला सांगते की प्रत्येक त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज १८०° भरते.

गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. ३


 मग चि. क्र. २ मधला त्रिकोण कुठल्या भूमितीत बसतो? पृथ्वीचा पृष्ठभाग सपाट नसल्याने तेथे युक्लिडच्या भूमितीचे नियम लागू पडत नाहीत. तिथल्या भूमितीला ‘अयुक्लिडीय' भूमिती म्हणूया.

 गेल्या शतकापर्यंत गणितज्ञांचा असा समज होता की युक्लिडने काढलेली भूमिती एकमेव भूमिती असू शकेल. परंतु हा समज शेवटी खोटा ठरला. युक्लिडच्या स्वयंसिद्ध गृहितकांपैकी काहीत बदल करून नवीन भूमित्या तयार करता येतात, याची जाणीव गेल्या शतकातल्या गणिततज्ज्ञांना प्रथमच झाली.

एक बदललेले गृहीतक :

 चित्र क्र. ३ मध्ये अ ब ही सरळ रेषा असून हा एक त्याबाहेरील बिंदू आहे. मधून अ ब च्या समांतर किती रेषा काढता येतील?

 युक्लिडने गृहीत धरलं की चि. क्र. ३ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे एक आणि एकच रेषा अ ब च्या समांतर काढता येईल

 युक्लिडनंतरच्या अनेक गणिततज्ज्ञांनी हे गृहीत न धरता इतर युक्लिडच्या गृहीतकांच्या आधारे हा नियम प्रमेय म्हणून सिद्ध करण्याचा पुष्कळ प्रयत्न केला. पण त्यांना यश आले नाही.

 शेवटी काही शास्त्रज्ञांनी (लोबॅच्युस्की, गाअस, रीमान अि.) वेगळेच पर्याय गृहीत धरून पाहिले : (१) मधून अब च्या समांतर एकही रेषा काढता येणार नाही; (२) मधून अबच्या समांतर दोन किंवा अधिक रेषा काढता येतील.

 आणि त्यांना जाणीव झाली की दोन्ही पर्याय नवीन अचूक भूमित्या निर्माण करतात. पहिला पर्याय पृथ्वीतलावरच्या अयुक्लिडीय भूमितीला लागू पडतो. अशा तहेने .......

 अयुक्लीडीय भूमित्यांमधून गणिताच्या एका नवीन शाखेचा उगम झाला !

हे कोडे सोडवा ! :

 वर दिलेल्या नंबर दोनच्या कोड्याचं उत्तर फक्त ‘उत्तर ध्रुव' हे नव्हे. पृथ्वीवर आणखी ठिकाणे पण आहेत, जिथे त्या गृहस्थाचं घर असू शकेल. जरा डोकं वाजवल्यावर ही ठिकाणे सापडतील.

 ह्या कोड्याचं उत्तर लेखांक १० मध्ये दिलं आहे.

♦ ♦ ♦