ससा आणि कासव
१६. ससा आणि कासव[संपादन]
ही इसापनीतीतली गोष्ट नव्हे - गणितातली गोष्ट आहे ! एकदा ससा आणि कासव यांच्यात वाद सुरू झाला. ससा कासवापेक्षा दसपट वेगानं धावू शकत होता. म्हणून त्याने कासवाला शर्यतीचं आव्हान दिलं आणि म्हटलं, “तू माझ्यापुढे १०० यार्ड जाऊन मग पळायला सुरुवात कर. मी तुला पटकन पकडतो की नाही पहा !”
“तर मग तू मला पकडू शकणार नाहीस !” कासव शांतपणे उद्गारलं.
मी काही गोप्टीतल्या सशाप्रमाणे झोपणार नाही वाटेत.” ससा टेचात बोलला.
“तरीसुद्धा तू मला कधीच पकडू शकणार नाहीस." कासव म्हणालं, “फार काय मी हे तुला गणितानं सिद्धच करून दाखवतो. मग आपल्याला पळायची जरूरच नाही”
“दाखव” ससोबा म्हणाले. पण मनातून त्यांना जरा भीती वाटली. कारण कासवाच्या डोकेबाजपणाबद्दल वाद नव्हता.
“हे पाहा, मी तुझ्यापुढे १०० यार्ड असणार सुरुवातीला. तुला प्रथम हे शंभर यार्ड अंतर भरून काढायला पाहिजे. कबूल?”
“कबूल." - ससा.
“तोपर्यंत मी काही स्वस्थ बसणार नाही - मी पण पुढे गेलो असेन." कासव म्हणाले.
“पण तू काही माझ्याइतका जोरात पळणार नाहीस. तू फक्त १० यार्डच पुढे गेलेला असशील.” - ससा लगेच म्हणाला.
“पण हे १० यार्ड तुला भरून काढावे लागतील आणि तोपर्यंत मी आणखी एक यार्ड पुढे गेलो असेन. ते अंतर तू भरून काढेपर्यंत मी पुन्हा पुढे जाईन. ते अंतर भरून काढेपर्यंत मी आणखी पुढे गेलो असेन. नाही का?” - कासव.
“पण मी केव्हातरी तुला पकडेनच !” ससा किंचित् गोंधळून म्हणाला.
“पण केव्हा? कारण मी आता सांगितल्याप्रमाणे तू नेहमीच माझ्या मागे असणार ! तू माझ्या पूर्वीच्या जागी येईपर्यंत मी थोडा तरी पुढे जाणारच !”
सशाला ह्या युक्तिवादावर उत्तर सापडेना. तुम्हाला तो पटतो का?
तर्कदोष (Fallacy)
गणित हा तर्कशास्त्रावर अवलंबित असलेला विषय आहे. काही नियम गृहीतक म्हणून धरून त्यावरून, तर्कशास्त्रीय प्रणालीचा वापर करून निष्कर्ष काढायचे हा गणितज्ञाचा प्रयत्न असतो. पण जर ही तर्कशास्त्रीय प्रणाली कुठे चुकली तर चुकीचे निष्कर्ष निघतात. वर सांगितलेल्या गोष्टीत कासवाच्या युक्तिवादात तर्कदोष आहे.
तर्कदोषाची दोन उदाहरणे पहा.
बीजगणितातलं हे एक उदाहरण आहे. समजा, अ आणि ब दोन समान संख्या आहेत.
अ = ब
आता ह्या समीकरणाला ब ने गुणा :
अ x ब = ब x ब
हे दोनही समान आकडे अ x अ मधून वजा करा.
अ x अ - अ x ब = अ x अ - ब x ब
दोन्ही बाजूंचे गुणक पाडा
अ (अ - ब) = ( अ + ब) x ( अ - ब)
आता ह्या समीकरणात दोन्ही बाजूला असलेल्या गुणकाने (अ - ब) ने भाग द्या. म्हणजे :
अ = अ + ब
अरेच्या ! आपण प्रथम अ = ब असं धरून चाललो. मग हे कसं उत्तर आलं? तर अ = ब = १ असेल तर वरील गणिताचा निष्कर्ष आहे.
१ = २.
चूक कुठे आहे?
ह्यात तर्कदोष आला जेव्हा आपण (अ - ब) ने भाग दिला. कारण अ - ब = ० (शून्य !) आणि शून्याने भाग द्यायची गणितीय तर्कशास्त्रात परवानगी नसते !
भूमितीतला एक तर्कदोष चित्र क्रमांक २ मध्ये दाखवला आहे.
ह्या त्रिकोणात ‘ब क’ ही रेषा ‘च छ' पेक्षा लांब वाटते. आता आपण त्या समान आहेत हे सिद्ध करू !
‘चछ' वर 'प' एक कुठलाही बिंदू घ्या. ‘अ’ आणि ‘प' ला जोडणारी सरळ रेषा ‘ब क’ ला ‘फ’ मध्ये मिळते. म्हणजे ‘चछ’ मधल्या प्रत्येक बिंदूला ‘बक’ वर एक बिंदू जोडीदार आहे. त्याचप्रमाणे ‘ब क’ वर कुठलाही बिंदू घेतला तर वरील रचनेचा उपयोग करून आपल्याला ‘चछ' वर त्याचा जोडीदार बिंदू मिळतो.
म्हणजे ‘चछ’ आणि ‘ब क’ वर समान संख्येने बिंदू आहेत. त्यामुळे त्या सारख्या लांबीच्या झाल्या. नाही का?
वास्तविक बिंदूला लांबी नसते आणि बिंदूंची संख्या (प्रत्येक रेषेवर) अनंत आहे. शून्य आणि अनंत यांचा गुणाकार करायची परवानगी गणितीय गृहीतके देत नाहीत. म्हणून वरील निष्कर्ष काढणे हा तर्कदोषाचा नमुना होय.
कासवाचा तर्कदोष
कासवाच्या तर्काप्रमाणे गणित करून पाहू. शंभर याचं अंतर तोडेपर्यंत कासव १० यार्ड पुढे गेलं. ते तोडेपर्यंत कासव १ यार्ड पुढे जाईल. म्हणजे हे अंतर भूमितीश्रेणीने दसपटीने कमी होत जाईल.
१००, १०, १, ०, ०.१, ०.०१, ०.००१, .........
कासव म्हणतं की ही क्रमावली संपत नसल्याने ते नेहमीच पुढे असेल. ही आकड्यांची क्रमावली असंख्य असली तरी त्यांची बेरीज अनंत नाही. बेरीज करणं सोपं आहे - त्यातून हा आकडा तयार होतो.
१११.१११११........
ही आवर्त दशांशांची संख्या १०००/९ इतकी भरते. म्हणजे इतकं अंतर गेल्यावर ससा कासवाला पकडेल.
कासवाने मात्र (लबाडीने) असे भासवलं की अगदी अनंत काळपर्यंत शर्यत चालली तरी तेच पुढे राहील ! क्रमावलीने मांडलेले आकडे असंख्य असले तरी त्यांची बेरीज असंख्यच होते असे नाही.
‘ऍकिलिस (ग्रीक पुराणकथेतला एक शूर योद्धा) आणि कासव म्हणून गाजलेली ही एक गणितातली तर्कदोषाच्या नमुन्याची गोष्ट आहे. येथे ऍकिलिस ऐवजी ससा हा बदल केला आहे.