सर्वात हुशार कोण ?
१४. सर्वात हुशार कोण?[संपादन]
एका राजाकडे तीन पंडित आले. त्यांच्यात वाद होता की तिघांपैकी सर्वात हुशार कोण? राजाने त्यांची अनेक प्रकारे परीक्षा घेतली पण तरीही त्याला ते ठरवता आलं नाही. अखेर प्रधानाने त्या पंडितांना एक प्रश्न घातला.
प्रधानाने सर्वांना सारख्याच लांबीची दोरी दिली (- ६० मीटर असं आपण समजू). आणि त्यांना सांगितलं की, ह्या दोरीने परिवेष्टित असलेली जास्तीत जास्त क्षेत्रफळाची जागा शोधून काढा त्या जागेचा आकार कसाही असला तरी चालेल !
त्या तिघांनी खालील आकारांच्या जागा घेतल्या :
पहिल्या पंडिताने सारख्या लांबीच्या बाजूचा त्रिकोण घेतला तर दुसऱ्याने चौरसाचा आकार निवडला. मात्र वर्तुळाकार जागा निवडणाऱ्या
तिस-या पंडितालाच प्रधानाने सर्वात हुषार व विजयी ठरविलं.
किंचित विचार केल्यास आणि थोडं गणित मांडल्यास ह्याचं कारण समजून येईल, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ जवळ जवळ १७३ चौरस मीटर, चौरसाचं २२५ चौरस मीटर तर वर्तुळाचे क्षेत्रफळ जवळ जवळ २८६ चौरस मीटर इतकं भरतं.
बहुभुज
त्रिकोणाला तीन बाजू तर चौरसाला चार बाजू असतात. त्यापुढची पायरी म्हणजे पंचकोनी आकृती. ६० मीटर परीघ असलेली, सर्व बाजू सारख्या असलेली (म्हणजे प्रत्येक बाजू १२ मीटरची) आकृती काढल्यास तिचं क्षेत्रफळ चौरसापेक्षा अधिक असेल. हाच क्रम पुढे चालू राहतो. समान बाजूंचा बहुभुज, ठराविक परिघाचा, जितक्या जास्त बाजूंचा तितकं त्याचं क्षेत्रफळ जास्त. (अर्थात ही वाढ बाजूंच्या संख्येच्या प्रमाणात वाढत नाही!) वर्तुळ ही आकृती म्हणजे अनंत भुजांचा बहुभुज म्हणायला हरकत नाहीं - तिचं क्षेत्रफळ सर्वात जास्त असतं.
आता ठराविक परीघ याचा विचार न करता, आपण ह्या समान भुजांच्या बहुभुजांची वेगळ्या दृष्टिकोनातून पाहणी करू. समजा, आपल्याला जमिनीवर फरशी लावायच्या आहेत. त्यासाठी कुठल्या कुठल्या आकारांच्या फरशा चालतील? अर्थातच एकमेकांना चिकटून
लावता आल्या पाहिजेत. त्यामध्ये मोकळी जागा राहून उपयोगी नाही. चौरस फरशा हे काम बजावतात. त्रिकोणी फरशा पण चालतील.पंचकोनी फरशा चालतील का? उत्तर : 'नाही !’ कारण चित्र क्रमांक २ मध्ये पहा.
शेजारी ३ पंचकोनी फरशा लावल्यास मध्ये मोकळी जागा राहाते. पण हाच प्रकार षटकोनी फरशांना लागू नाही. त्या बरोबर 'फिट्ट बसतात. कुठल्याही बिंदूभोवती ३६०° ची कोन असतो. षटकोनाचा प्रत्येक आतला कोन १२०° चा असतो. त्यामुळे तीन षटकोन बरोबर बसतात. पंचकोनाचा प्रत्येक कोन १०८° चा असल्याने असे तीन पंचकोन शेजारी लावले की ३६° चा कोन मोकळा राहातो.
मधमाश्यांचे पोळे
मधमाश्यांना पोळ्यात मध साठवताना दोन गोष्टींची दखल घ्यावी लागते असं समजूया. एक म्हणजे त्यातले कोश (Cell) एकमेकांशी 'फिट्ट बसले पाहिजेत. दुसरी गोष्ट म्हणजे प्रत्येक कोशाचा पृष्ठभाग, जिथे मेण (Bee's wax) असतं, तो शक्य तितका कमी असावा किंवा कोश बांधताना त्याच्या भिंतीत शक्य तितकी जास्त जागा मधासाठी असावी. पहिल्या गोष्टीची दखल घेतल्यास मधमाशीपुढे तीन पर्याय उरतात : (पहा चित्र क्र. ३).
ह्या कोशांच्या लांब बाजू आडव्या (पृथ्वीतलाला समांतर) काढल्या आहेत. आता दुस-या गोष्टीचा विचार केला तर या तीन आकृत्यांपैकी तिसरी सर्वात जास्त मध ठेवू शकेल.
बहुधा ह्या 'गणिताचा' निसर्गाने विचार केला असावा. कारण हा
षट्कोनी आकार बहुतेक पोळ्यात सापडतो.
ह्या कोशांची टोके कशी असावीत म्हणजे लांबीच्या बाजूने पाहिल्यास ती एकमेकांत बसू शकतील? चि. क्र. ४ मध्ये समोरून आणि लांबीच्या बाजूने पोळ्याचं चित्र दिलं आहे.
सर्वात हुशार कोण?ही कोशांची टोके कशी असावीत? वर नमूद केलेल्या दोनही गोष्टींची दखल घेतल्यास उत्तर येतं Rhombic dodecahedron म्हणजे १२ पृष्ठभागांची आकृती, ज्याचा प्रत्येक पृष्ठभाग समचतुर्भुज (पत्त्यातली 'चौकट' ची आकृती) असतो. गंमत म्हणजे अशा त-हेची टोकं ब-याच पोळ्यांच्या कोशात आढळतात.
गणितीय सिद्धान्ताचा निसर्गात कसा वापर होतो याचं हे एक उदाहरण !
प्लेटोचं कोडं
प्लेटो नावाच्या एका बेल्जियन गणितज्ञाने घातलेलं गणित खुद्द गणिती लोकांना अनेकदा सोडवणं अवघड जातं. पण निसर्गाच्या मदतीने ते पटकन सुटतं. प्लेटोचा प्रश्न असा : 'एखाद्या दोरीची किंवा तारेची दोनही टोकं जोडून लूप तयार करा. ह्या लूपने घेरलेला कमीतकमी क्षेत्रफळाचा पृष्ठभाग कोणता?”
ऑयलर नावाच्या गणितज्ञाने मांडलेल्या सिद्धान्ताच्या आधारे हा प्रश्न सोडवायला आवश्यक ती समीकरणे मांडता येतात. पण ती
सोडवणं पुष्कळ वेळा शक्य होत नाही ! कारण पुष्कळ वेळां लूप अतिशय वेडावाकडा असतो.
निसर्गाची मदत घेतली की हा प्रश्न सुटतो. साबणाचे फुगे करतो त्या प्रमाणे साबणाचे पाण्यात मिश्रण तयार करा. दिलेल्या आकाराचा तारेचा लूप त्यात बुडवा. बाहेर काढल्यावर त्या लूपला चिकटलेली साबणाची बारीक फिल्म तयार होते. पृष्ठताण (सर्फेस टेंशन) ह्या नैसर्गिक गुणामुळे ह्या फिल्मचा पृष्ठभाग शक्य तितका कमी करायची निसर्गाची प्रवृत्ती असते. म्हणून तयार झालेल्या फिल्मचा पृष्ठभाग हेच या प्रश्नाचं निसर्गानं दिलेले उत्तर !
हळूहळू वळवून त्याचा आकार बदलल्यास हा पृष्ठभाग बदलतो. कधीकधी त्यात गमतीचे बदल होतात. प्रत्यक्ष प्रयोग करून पहा.