दोनच पर्याय : सत्य किंवा असत्य
६. दोनच पर्याय : सत्य किंवा असत्य[संपादन]
कोणतंही प्रमेय सिद्ध करायला गणितज्ञाला तर्कशास्त्राच्या नियमांचा उपयोग करावा लागतो. ह्यापैकी एका विशिष्ट नियमाचा प्रयोग गणितात अनेक वेळा केला जातो आणि तो म्हणजे असा :
‘अमुक एक विधान सत्य तरी असेल किंवा असत्य तरी असेल. आणखी तिसरा पर्याय नाही.'
समजा, ‘अ’ हे एक विधान आहे आणि ते सत्य आहे असं सिद्ध करायचं आहे. कधी कधी 'अ' ची सत्यता प्रत्यक्ष सिद्ध करणं अवघड असतं म्हणून गणिती वेगळा मार्ग अवलंबितो. तो असं गृहीत धरतो की ‘अ’ हे असत्य आहे. तसं गृहीत धरलं तर त्यातून कायकाय निष्कर्ष निघतील? जर त्यापैकी एखादा निष्कर्ष असत्य किंवा पूर्वी सिद्ध केलेल्या नियमांशी विसंगत निघाला तर “अ असत्य आहे" हे विधान चूक ठरतं आणि पर्यायाने ‘अ’ सत्य आहे असा निष्कर्ष निघतो.
ह्याची दोन उदाहरणे खाली दिली आहेत.
कुतूहलजनक संख्या किती? :
मागील लेखात १, २, ३..... इत्यादि आकड्यांची संख्या असंख्य आहे असं म्हटलं होतं. त्यातील कुतूहलजनक गुण असलेल्या संख्या किती असतील? इथे कुतूहलजनक गुण म्हणजे कोणताही गुण समजावा, ज्यामुळे ती संख्या आपलं लक्ष आकर्षित करू शकेल. उदाहरणार्थ, १११
ह्या संख्येमध्ये सर्वच अंक १ आहेत, हा गुण आहे. ४ ह्या संख्येत असा गुण आहे की ती २x२ किंवा २ + २ अशी दोन प्रकारे लिहिता येईल.
तर अशा काही ना काहीतरी विचित्र गुण असलेल्या संख्या किती असतील? आपल्याला वाटतं की अशा असंख्य संख्या असतील. पण हे सिद्ध कसं करायचं? एक पद्धत अशी - ‘अ’ हे एक विधान करा :
अ : कुतूहलजनक संख्या अनंत आहेत.
समजा 'अ' असत्य आहे. म्हणजे अशा आकड्यांची संख्या परिमित आहे. तसं असलं तर त्यातील सर्वात मोठी संख्या कुठली हे सांगता येईल. समजा, ही संख्या ‘क’ ह्या अक्षराने दाखवता येईल.
म्हणजे 'क' पेक्षा मोठ्या सर्व संख्या कुतूहलशून्य आहेत. आणि ‘क + १' ही संख्या अशा सर्व संख्यात पहिली आहे.
पण कसलंही वैचित्र्य नसलेल्या संख्यांत सर्वात लहान असणं हाही एक कुतूहलाचा विषय नव्हे का?
म्हणून ‘क + १' ह्या संख्येत पण कुतूहलजनक गुण आहे. पण क ही संख्या असा गुण असलेल्या संख्यांत सर्वात मोठी असं आपण नुकतेच म्हटलं नाही का? आणि ‘क + १' ही ‘क’ पेक्षा मोठी आहे.
ही विसंगती आढळल्यामुळे 'अ' हे विधान असत्य आहे हा आपला समज चुकीचा ठरतो. म्हणून 'अ' हे सत्य आहे असं सिद्ध होतं!
हा माणूस कुठल्या जातीचा? :
एका बेटावर दोन जातीचे लोक होते. एका जातीचे लोक नेहमी खरं बोलायचे तर दुस-या जातीचे लोक नेहमी खोटं बोलायचे. परदेशातला एक माणूस तेथे आला. त्याला तीन लोक बरोबर जाताना दिसले. आपण त्यांना 'अ', 'ब', 'क' म्हणू.
त्याने 'अ' ला विचारलं, "तू कोणत्या जातीचा?”
'अ' काहीतरी पुटपुटला. पण ते. प्रश्न विचारणाऱ्याला कळलंच नाही.
"काय म्हणाला तो?" त्याने 'ब' आणि 'क' ना विचारलं.
“तो म्हणतो मी खरं बोलणारा आहे” “ब” उत्तरला..
"नाही! तो म्हणाला मी खोटं बोलणारा आहे" ‘क’ ने त्याला खोडून काढलं.
प्रश्न असा : 'ब' आणि 'क' कुठल्या जातीचे होते?
हा प्रश्न सोडवायला वरील तंत्राचा अवलंब करू. समजा, ‘क’ खरं बोलणारा आहे. म्हणजे 'अ' म्हणाला की तो स्वतः खोटं बोलतो. जर ‘अ’ हा खरं बोलणारा असता तर त्याने विचारलेल्या प्रश्नाचं उत्तर दिलं असतं की 'मी खरं बोलणारा आहे. जर 'अ' हा खोटं बोलणारा असता तरी त्याने हेच उत्तर दिलं नसतं का? कुठल्याही परिस्थितीत 'मी खोटं बोलणारा आहे' असं 'अ' म्हणणार नाही. म्हणजे 'क' चं विधाने खोटं ठरतं - म्हणून तो खरं बोलणारा नाही - खोटं बोलणारा आहे.
पर्यायाने 'ब' खरं बोलणारा ठरतो.
अशा त-हेच्या युक्तिवादावर आधारलेली काही कोडी खाली देत आहे. पहा सोडवण्याचा प्रयल करून.
(१) खोटं कोण बोलला?
मुंबई, पुणे आणि गोवा ह्या तीन ठिकाणी जाणारे रस्ते एका ठिकाणी मिळतात (पुढील चित्र पहा) आणि त्या ठिकाणी एक घर आहे.
त्यात दोन भाऊ राहतात. एक भाऊ नेहमी खोटं बोलतो तर दुसरा नेहमी खरं बोलतो. एक माणूस मुंबईहून ह्या ठिकाणी आला. त्याला
पुण्याला जायचं होतं पण रस्त्यांची नावं कुठेच नव्हती. तेव्हा त्याने ह्या घराचे दार ठोठावलं आणि दोघा भावांना प्रत्येकी एकच आणि तोच प्रश्न विचारला. त्यांच्या उत्तरावरून त्याला सांगता आलं की खरं बोलणारा कोण आणि खोटं बोलणारा कोण. शिवाय त्याला पुण्याचा रस्ता कुठला ही पण माहिती मिळाली.
त्याने विचारलेला प्रश्न कोणता?
(२) राजाने प्रधान कोणाला नेमले?
एका राजाला प्रधान नेमायचा होता. त्याने हुशार पंडितांना बोलवून सर्वात विचारवान पंडित नेमायचं ठरवलं. निवड करता करता शेवटी तीन पंडित उरले. त्यांची परीक्षा घेण्याकरता त्याने सर्वांना एका टेबलाभोवती बसवलं आणि त्यांचे डोळे बांधून सांगितलं : “तुमच्या प्रत्येकाला कपाळावर लाल किंवा पांढरे गंध लावण्यात येईल. डोळ्यांची पट्टी काढल्यावर तुम्ही एकमेकांकडे पाहा. ज्याला कोणाला दुस-याच्या कपाळावर (एकाच्या किंवा दोघांच्या) लाल गंध दिसेल त्याने हात वर करायचा."
राजाने प्रत्येकाच्या कपाळावर लाल गंध लावलं. पट्टी काढल्यावर तिघांचे हात वर झाले.
आता ओळखा पाहू स्वतःच्याच गंधाचा रंग!” राजाने आव्हान दिलं.
बराच वेळ विचार केल्यावर त्यातल्या सर्वात हुशार पंडिताने सांगितलं, “माझं गंध लाल रंगाचं आहे" त्याला प्रधानकी मिळाली.
त्याने कुठला युक्तिवाद केला असेल?
(३) हुशार पालक
एका शाळेत दहा व्रात्य विद्यार्थी होते. प्रत्येकाचे पालक वेगळे होते. अनेक वेळा दम भरूनही हे विद्यार्थी वठणीवर आणायला त्यांच्या मास्तरांना जमलं नाही. ते हेडमास्तरांकडे गेले आणि त्यांनी सर्व परिस्थिती निवेदन केली.
"हे काम शेवटी पालकांवर सोपवलं पाहिजे. मी सर्वच पालकांना एक नोटीस पाठवतो." हेडमास्तर म्हणाले, त्यांनी शाळेतल्या सर्व
विद्यार्थ्यांच्या पालकांना पत्रे पाठवली :
ह्या शाळेत काही विलक्षण व्रात्य विद्यार्थी आहेत. तुम्हाला तुमचा मुलगा व्रात्य असल्याची खात्री असल्यास शाळेत येऊन प्रार्थनेनंतर सर्व विद्यार्थ्यांसमोर तुम्ही त्याला समज द्यावी.”
गंमत म्हणजे प्रत्येक पालकाला इतर मुलांची ते व्रात्य आहेत का नाही याची माहिती होती. पण स्वतःच्या मुलाचीच खात्री नव्हती. पण दुसऱ्याला विचारणं त्यांना कमीपणाचं वाटत होतं. म्हणून त्यांनी तर्कशास्त्राचा उपयोग केला.
पहिल्या दिवशी कोणीच पालक आपल्या मुलांना शिक्षा करायला आले नाहीत.
दोन दिवस झाले - तिसरा दिवस गेला - काही घडलं नाही.
मास्तरलोक हेडमास्तरांकडे गेले, “अहो, तुमच्या पत्राचा काही उपयोग झालेला नाही. पालकांनी दखल घेतली नाही आणि व्रात्यपणा तर जोरात आहे.”
“जरा दमाने घ्या ! पालकलोक हुशार आहेत. योग्य वेळी आपलं कर्तव्य बजावतील." हेडमास्तर आत्मविश्वासाने म्हणाले.
आणि खरोखरच दहाव्या दिवशी दहाही व्रात्य मुलांच्या पालकांनी येऊन आपल्या रत्नांचा योग्य तो समाचार घेतला !
त्यांनी कसा तर्क केला असेल? ते इतके दिवस का थांबले?
उत्तरे लेखांक ९ मध्ये पहा.