ठिकाणांची आणि पुलांची रचना वेगळी आहे. आता ऑयलरचा नियम असा :
कुठल्याही आकृतीत अशी किती ठिकाणं आहेत जिथून विषम संख्येने (म्हणजे २ ने नि:शेष भाग न जाणा-या संख्येने) पूल निघतात, याची नोंद करा. जर ती संख्या २ पेक्षा जास्त असेल तर ती आकृती गिरवणं (दिलेल्या नियमाप्रमाणे) शक्य नाही. जर ती संख्या २ असेल तर हे शक्य आहे, मात्र गिरवण्याला सुरवात अशा ठिकाणापासून केली पाहिजे, जिथून विषम संख्येने पूल निघतात, जर ही संख्या २ पेक्षा कमी असेल तर ही आकृती कुठूनही सुरू केल्यास गिरवता येईल. आता हा नियम वापरूया. आपण नुकतंच पाहिलं की चित्र क्र. १ मधल्या आकृतीत अशी चार ठिकाणं आहेत जिथून तीन (म्हणजे विषम संख्येने) पूल निघतात. म्हणून ही आकृती गिरवता येणार नाही.
हाच नियम कोनिग्सबर्गच्या पुलांच्या आकृतीला लावून पहा म्हणजे ऑयलरने गावकरयांना काय उत्तर दिलं असेल याची कल्पना येईल !
दोऱ्यांच्या गाठी आणि गुंतागुंती
वर नमूद केलेला भाग संस्थिती (टॉपॉलॉजी) ह्या, गणिताच्या शाखेत बसतो. आता संस्थितीतलं एक वेगळं उदाहरण बघा.
दो-यांच्या काही गाठी सुटतात तर काही सुटत नाहीत. काही गुंतागुंती सोडवायला लागलो की त्यांचं दुसऱ्या गुंतागुंतीत रूपांतर होतं. तर कधीकधी दोरीला गाठ नसून नुसता पीळ गेलेला असतो. ह्या सर्व प्रकारांचा सांगोपांग अभ्यास संस्थितीत केला जातो. सोपे वाटणारे काही प्रश्न गहन असता हे इथेसुद्धा दिसून आलं आहे.
उदाहरणार्थ, चित्र क्रमांक ३ मध्ये दाखवलेल्या दोन गाठींचे एकमेकात रूपांतर होऊ शकेल का? पाहा प्रयल करून !
