अतिशय अवघड आहे. खुद्द जॉर्डनने दिलेला पुरावादेखीलं पूर्ण बरोबर नव्हता !
कारण गणिताला पाहिजे असलेला पुरावा, व्यापक स्वरूपाचा असतो. वरील उदाहरणात तो सर्व त-हेच्या आकृत्यांना (अर्थात वर दिलेल्या पथ्याप्रमाणे काढलेल्या) लागू पडला पाहिजे.
चित्र क्रमांक २ मध्ये हेच पथ्य पाळून एक आकृती काढली आहे. त्या आकृतीचं एक कुंपण एका माणसाने आपल्या घराभोवती बांधलं. पण ते तयार झाल्यावर त्याला प्रश्न पडला की आपलं घर कुंपणाच्या आत आहे का बाहेर?
आकृतीवर एक नजर टाकून तुम्ही सांगू शकाल का? जॉर्डनचं प्रमेय याहूनही क्लिष्ट आकृत्यांना लागू पडतं.
रबर बँडप्रमाणेच लवचिक पत्रा वाकवून, ठोकून त्याला वेगळे आकार देता येतात. कुंभाराच्या मातीचा गोळा घेऊन तो दाबून, चेपून वेगवेगळी रूपे त्याला देता येतात. अशा तहेचा कायापालट (ज्यांच्यात कुठेही मोडतोड नाही) केल्यावर तयार होणा-या आकृतींना एक वेगळंच गणित लागू पडतं. त्याला म्हणतात टॉपॉलॉजी (मराठीत 'संस्थिती'). जॉईनचं प्रमेय हे ह्या विषयातलं एक प्रमेय आहे.
दिसायला उघड आणि सोपं पण प्रत्यक्ष पुरावा मात्र अवघड अशी
