जादूचे वर्ग
१२. जादूचे वर्ग[संपादन]
चित्र क्र. १ मध्ये १ पासून ९ पर्यंतचे अंक एका वर्गाकृतीत काढले आहेत.
ह्या आकडेवारीचं वैशिष्ट्य असे की कुठल्याही ओळीतल्या किंवा कुठल्याही रकान्यातील तीन आकड्यांची बेरीज सारखी भरते :
८ + १ + ६ = १५,
८ + ३ + ४ = १५,
३ + ५ + ७ = १५,
१ + ५ + ९ = १५
४ + ९ + २ = १५,
६ + ७ + २ = १५.
फार काय, दोन्हीपैकी प्रत्येक कर्णरेषेतील आकड्यांची बेरीजही तितकीच भरते :
८ + ५ + २ = १५,
४ + ५ + ६ = १५,
अशी वर्गाकृती 'जादूचा वर्ग' म्हणून ओळखली जाते.
विषम क्रमाचे जादूचे वर्ग
वरील उदाहरण ‘तीन बाय तीन' ह्या वर्गाकृतीचं होतं. तीन ही ‘विषम संख्या' (म्हणजे २ ने भाग न जाणारी) आहे. अशा विषम संख्यांचे जादूचे वर्ग तयार करणं सोपं आहे. द.ला लबेअर नावाच्या गणितज्ञाने विषम क्रमाचे वर्ग तयार करण्याची पद्धत शोधून काढली. ती वापरून आपण ५ x ५ चा म्हणजे १ ते २५ पर्यंतच्या आकड्यांचा जादूचा वर्ग तयार करूया. पहा चित्र क्र. २
पहिला आकडा १ हा पहिल्या रांगेतल्या मध्यावर मांडायचा आणि तिथून ५ पर्यंतचे आकडे तिरके ( → च्या दिशेने) कर्णाकडे मांडत जायचं. १ नंतरचा पहिलाच आकडा - २ हा शेजारच्या रकान्याबाहेर पडतो म्हणून तो त्या रकान्याच्या खालच्या टोकाला आणायचा. हाच नियम ४ ला लावायचा. ४ हा आकडा तिस-या रांगेच्या उजवीकडे बाहेर पडतो म्हणून तो त्या रांगेच्या डाव्या टोकाला मांडायचा.
अशा प्रकारे पहिले ५ आकडे लिहून झाले की त्या पुढचा आकडा ६ हा ५ खाली मांडायचा आणि चि. क्र. २ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे परत तिरकं जायला सुरुवात करायची. ह्या नियमाप्रमाणे ६-१० हे आकडे मांडून दाखवले आहेत. त्या पुढचे आकडे त्याच नियमाप्रमाणे मांडून पाहा हा पाच बाय पाचचा वर्ग जादूचा वर्ग होतो की नाही ते !
ह्याच नियमाप्रमाणे ७ x ७, ९ x ९ ... हवे तितके मोठे जादूचे वर्ग करता येतील.
मात्र हा नियम विषमक्रमाच्या वर्गांनाच लागू पडतो. उदाहरणार्थ, ४ x ४ ची जादूचा वर्ग अशा तऱ्हेने बनवता येत नाही. 'सम' क्रमाचे जादूचे वर्ग कसे बनवायचे हे पण गणितज्ञांनी शोधून काढलं आहे.परंतु याचे नियम किचकट असल्याने जागेच्या अभावी येथे देता येणार नाहीत.
४ x ४ चा एक जादूचा वर्ग चित्र क्र. ३ मध्ये दिला आहे.
चार बाय चार चे १-१६ ह्या आकड्यांचे ह्याशिवाय वेगळे जादूचे वर्ग करता येतात. प्रयत्न करून पाहा !
कुठल्याही क्रमाचे सर्व जादूचे वर्ग कसे बनवायचे हे दाखवणारा नियम अजून गणितज्ञांना गवसलेला नाही. वर दिलेली पद्धत जादूचा वर्ग बनवायच्या अनेक नियमांपैकी एक आहे, हे जाता जाता नमूद करणं आवश्यक आहे.