गणितातल्या गमती जमती

विकिस्रोत कडून
Jump to navigation Jump to search





१. गणितातल्या गमती जमती[संपादन]

 सामान्य माणूस गणित ह्या विषयाशी वचकून असतो. हा विषय फार भयंकर, अति क्लिष्ट, आकडेमोडींनी भरलेला... ह्याला दुरूनच नमस्कार केलेला बरा असं त्याला वाटतं. ही धारणा बहुतेक शालेय जीवनात घडणाऱ्या गणिताच्या दर्शनाने निर्माण केली जाते, ही एक दुर्दैवाची गोष्ट आहे. वास्तविक, गणिताच्या अनेक मनोरंजक पैलूंचे आणि मानवी कल्पनाशक्तीला चालना देणाऱ्या वेगवेगळ्या स्वरूपांचे दर्शन योग्य वेळी घडल्यास ह्या विषयाबद्दल जिव्हाळा आणि आदर निर्माण व्हायला हरकत नाही. गणित हा अवघड विषय आहे हे खरं - पण तो कशामुळे? निव्वळ आकडेमोडीमुळे नव्हे. लांबलचक फॉर्मुल्यामुळे नव्हेच नव्हे ! आधुनिक गणितातले कित्येक कूटप्रश्न दिसायला फार सोपे वाटतात. पण ते सोडविण्यासाठी लागणारा अमूर्त आणि व्यापक दृष्टिकोन मोजक्या संशोधकांतच असतो.

 अशा ह्या आधुनिक गणिताच्या काही मनोरंजक भागाची, त्यातल्या काही कूटप्रश्नांची इथे थोडक्यात ओळख करून देत आहे.

 येथे चित्र क्रमांक १ मध्ये दोन आकृत्या आहेत. या दोन आकृत्यांत साम्य आहे का? दोन्ही आकृतीत समान असा एक तरी गुण आहे का?

 

 


गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. १

 सामान्य माणूस याचे उत्तर बहुतेक नकारार्थीच देईल. पण हाडाचा गणिती मात्र त्या उत्तराशी सहमत होणार नाही.

 त्याचं उत्तर असं असेल --

 "समजा, एका कागदावर डावीकडली आकृती काढली. त्यामुळे कागदाचे दोन भाग होतात. एक आतला आणि एक बाहेरचा. आतून बाहेर जाताना कुठेतरी त्या आकृतीचा परिघ ओलांडावा लागेल. बरोबर हाच गुण उजवीकडच्या आकृतीत आहे"

 दोन्ही आकृत्यांतला हा समान गुण तुम्हाला सहजच समजेल. त्यात विशेष काय आहे? पण अशा तऱ्हेच्या सोप्या आणि उघड वाटणाऱ्या गोष्टींमागे बरेच वेळा गणितातलं एखादं महत्त्वाचं प्रमेय दडलेलं असतं. वरचा जो गुण दाखविला त्यामागे जॉर्डनचं प्रमेय आहे.

 'प्रमेय' हा शब्द पाहून घाबरू नका ! कारण हे प्रमेय समजून घेण्यास अगदी सोपं आहे.

 कुठलाही रबर बॅंड घ्या. तो एका कागदावर ठेवून त्याला ताणून, वळवून हवा तसा आकार द्या. मात्र हे करताना त्या बँडचे कुठलेही भाग एकमेकांवर पडता कामा नयेत. अशा तऱ्हेने तुम्हाला अनेक प्रकारच्या आकृत्या काढता येतील. चित्र क्रमांक १ मधल्या आकृत्या त्याच प्रकारच्या आहेत.

 अशी कुठलीही आकृती कागदाचे (वर सांगितल्याप्रमाणे) ‘आत' आणि ‘बाहेर' असे दोन भाग करते.

 हेच आहे जॉर्डनचं प्रमेय ! आहे की नाही सोपं? पण ते सिद्ध करणं


अतिशय अवघड आहे. खुद्द जॉर्डनने दिलेला पुरावादेखीलं पूर्ण बरोबर नव्हता !

 कारण गणिताला पाहिजे असलेला पुरावा, व्यापक स्वरूपाचा असतो. वरील उदाहरणात तो सर्व त-हेच्या आकृत्यांना (अर्थात वर दिलेल्या पथ्याप्रमाणे काढलेल्या) लागू पडला पाहिजे.

 चित्र क्रमांक २ मध्ये हेच पथ्य पाळून एक आकृती काढली आहे. त्या आकृतीचं एक कुंपण एका माणसाने आपल्या घराभोवती बांधलं. पण ते तयार झाल्यावर त्याला प्रश्न पडला की आपलं घर कुंपणाच्या आत आहे का बाहेर?

गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. २

 आकृतीवर एक नजर टाकून तुम्ही सांगू शकाल का? जॉर्डनचं प्रमेय याहूनही क्लिष्ट आकृत्यांना लागू पडतं.

हे करता येतं का बघा !

 रबर बँडप्रमाणेच लवचिक पत्रा वाकवून, ठोकून त्याला वेगळे आकार देता येतात. कुंभाराच्या मातीचा गोळा घेऊन तो दाबून, चेपून वेगवेगळी रूपे त्याला देता येतात. अशा तहेचा कायापालट (ज्यांच्यात कुठेही मोडतोड नाही) केल्यावर तयार होणा-या आकृतींना एक वेगळंच गणित लागू पडतं. त्याला म्हणतात टॉपॉलॉजी (मराठीत 'संस्थिती'). जॉईनचं प्रमेय हे ह्या विषयातलं एक प्रमेय आहे.

 दिसायला उघड आणि सोपं पण प्रत्यक्ष पुरावा मात्र अवघड अशी


तऱ्हेची प्रमेये ह्या गणिताच्या शाखेत अनेक आहेत; न सुटलेली प्रमेये पण आहेत.

गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. ३

 सोबतच्या चित्रात दिलेली आकृती पेन्सिलीने गिरवता येईल काय? मात्र कुठल्याही रेषेवर एकापेक्षा जास्त वेळा जायचं नाही आणि पेन्सिल उचलायची नाही.

चार रंगांचा कूटप्रश्न

 पृथ्वीवर वेगवेगळे देश आहेत (समुद्र हा एक देशच समजू !) त्यांचे नकाशे रंगवायचे आहेत. अट इतकीच की शेजारशेजारचे देश वेगवेगळ्या रंगांनी रंगवले पाहिजेत. लांबचे, एकच सीमाभाग नसलेले देश त्याच रंगाचे चालतील.

 असे नकाशे रंगवायला कमीत कमी किती रंग पुरतील?

गणितातल्या गमतीजमती.pdf

चित्र क्र. ४

 हा पुष्कळ प्रयलांनी सुटलेला कूटप्रश्न आहे. चित्र क्रमांक ४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे कमीत कमी चार रंग तरी पाहिजेत. पण चार रंग पुरेसे आहेत का? नसल्यास पाच रंग आवश्यक असणारी आकृती काढता येईल का?

 पहा प्रयत्न करून. उत्तरासाठी लेखांक ५ पहा.